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ÉQUATION GÉNÉRALE

on pourra regarder les deux premiers termes du premier membre comme étant les deux premiers termes du cube d’un binome, dont $y$ serait la première partie et ${\frac {A}{3}}$ la seconde. Si donc il arrivait qu’il existât entre les coefficiens la relation nécessaire pour que les deux autres termes complétassent le cube de $y+{\frac {A}{3}},$ on pourrait, par une simple extraction de racine cubique en déduire une équation du premier degré qui donnerait $y$ en fonction des coefficiens. Cela aurait encore lieu, quand bien même le premier membre ne différerait du cube d’un binome que par une quantité constante ; car, en ajoutant à chaque membre ce qu’il manquerait au premier pour le rendre un cube, l’extraction de la racine cubique des deux membres ramènerait également l’équation au premier degré^[1].

Si l’équation ne se trouve dans aucun des deux cas que nous venons d’examiner, on pourra la mettre sous la forme suivante

$\left(y+{\frac {A}{3}}\right)^{3}+y\left(B-{\frac {A^{3}}{3}}\right)+\left(C-{\frac {A^{3}}{27}}\right)=0,$

ou encore sous celle-ci

$\left(y+{\frac {A}{3}}\right)^{3}+\left(B-{\frac {A^{2}}{3}}\right)\left(y+{\frac {A}{3}}\right)+\left(C-{\frac {AB}{3}}+{\frac {2A^{3}}{27}}\right)=0.$

Par conséquent, si l’on pose

$y+{\frac {A}{3}}=x,\qquad B-{\frac {A^{2}}{3}}=p,\qquad C-{\frac {AB}{3}}+{\frac {2A^{3}}{27}}=q,$

la question sera réduite à résoudre l’équation

$x^{3}+px+q=0.$

1. C’est le cas résolu par les Indous ; voyez à ce sujet un article de M. Terquem, dans le III.^e volume de la Correspondance sur l’école polytechnique, page 275.