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ÉQUATION GÉNÉRALE

$\left(x^{2}+{\frac {p}{3}}\right)^{2}\left(x^{2}-{\frac {4}{3}}p\right)$

ne peut être négative qu’autant que le second facteur l’est lui-même, puisqu’on peut toujours supposer que l’une des valeurs de $x$ est réelle. Ainsi, il faut que $p$ soit négatif, ce qui est d’ailleurs évident, et que cette valeur de $x$ soit moindre que $2{\sqrt {\frac {p}{3}}}.$ On pourra donc toujours représenter cette valeur de $x$ par $2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\operatorname {Cos} .\phi .$ Si l’on substitue cette expression pour $x$ dans l’équation

$x^{3}-px+q=0,$

on aura une équation qui, étant divisée par $2{\sqrt {\frac {p^{3}}{27}}},$ deviendra

$4\operatorname {Cos} .^{3}\phi -3\operatorname {Cos} .\phi =-{\sqrt {\frac {27q^{2}}{4p^{3}}}}\,;$

or,

$4\operatorname {Cos} .^{3}\phi -3\operatorname {Cos} .\phi =\operatorname {Cos} .3\phi \,;$

donc

$\operatorname {Cos} .3\phi =-{\sqrt {\frac {27q^{2}}{4p^{3}}}}\,;$

cette équation servira à trouver l’angle $\phi ,$ et par suite $\operatorname {Cos} .\phi .$

L’équation entre $\operatorname {Cos} .\phi$ et $\operatorname {Cos} .3\phi$ ayant lieu encore en remplaçant $3\phi$ par $3\phi +nc$ ou $\phi$ par $\phi +{\frac {n}{3}}c,\ n$ étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif, et $c$ désignant la circonférence ; il s’ensuit que les valeurs de $x$ peuvent toutes être représentées par la formule

$x={\sqrt {\frac {p}{3}}}.\operatorname {Cos} .\left(\phi +{\frac {nc}{3}}\right)\,;$

laquelle, par les diverses suppositions faites pour $n,$ ne donne que ces trois formes distinctes