seule, et qu’enfin elles peuvent être toutes deux imaginaires ; de sorte qu’alors il n’y a, par le point dont il s’agit, qu’une seule normale possible et réelle. Ainsi, les trois normales à une parabole présentent exactement les mêmes circonstances qu’offrent les trois racines d’une équation du troisième degré.
Ces circonstances dépendent, comme l’on sait, de la situation du point de départ des normales, par rapport à la développée de la courbe ; c’est-à-dire que les trois normales sont réelles et inégales, ou que deux d’entre elles se confondent, ou enfin que ces deux sont imaginaires, suivant que ce point de départ est dans l’intérieur de l’angle curviligne formé par les deux branches de la développée ou sur un des côtés de cet angle ou enfin hors de ce même angle.
D’un autre côté ; de même qu’en la supposant privée de second terme, ce qui est permis, une équation du troisième degré ne dépend que de deux données seulement, arbitraires l’une et l’autre ; la position du point de départ des normales à la parabole dépend également de deux données arbitraires ; savoir, les deux coordonnées de ce point.
Ainsi, tout concourt à établir la plus parfaite analogie entre le problème des normales à la parabole par un de ses points et la recherche des racines d’une équation numérique du troisième degré ; voici la méthode qui nous a paru la plus propre à ramener la solution du dernier de ces deux problèmes à celle du premier.
Soit
l’équation d’une parabole rapportée à la tangente à son sommet et à son diamètre principal, comme axe des et des on sait que l’équation de sa développée sera
de sorte qu’un point sera dans l’angle curviligne formé par
