Nous aurons donc, entre les coordonnées du pied de la normale les deux équations (7, 9) au moyen desquelles il sera facile de les déterminer, et par suite, de construire ces normales.
On peut présentement supprimer les accens, dans ces deux équations, lesquelles deviendront ainsi
et remplacer l’élimination par la construction des courbes exprimées par les équations (10) ; or, la première est la parabole donnée elle-même ; donc la seconde est une courbe qui coupera la parabole donnée en trois points qui seront les pieds des normales partant du point On voit d’ailleurs que cette seconde courbe est une hyperbole équilatère, ayant pour asymptotes l’axe des et une parallèle à l’axe des située à une distance de cet axe. Cette hyperbole coupe d’ailleurs l’axe des en un point pour lequel on a ainsi on a tout ce qu’il faut pour la construire par points[1].
Si l’on élimine entre les équations (10) on obtiendra l’équation
- ↑ Dans la recherche des pieds des normales partant du point l’hyperbole peut être remplacée par une infinité d’autres courbes. Les équations
(10), en effet, ayant lieu en même temps pour ces points, toute combinaison
qu’on en pourra faire aura lieu en même temps qu’elles, et exprimera conséquemment une courbe coupant la parabole donnée aux points cherchés.
On peut, en particulier, remplacer l’hyperbole par un cercle. Si, en effet, on multiplie la dernière des équations (10) par en remplaçant par en vertu de la première, et divisant par il viendra
ajoutant à cette équation la première des équations (10), il viendra enfin
