216
QUESTIONS
Soit
une équation en
d’un degré quelconque
et soit
sa dérivée. Si, entre
et
on élimine
on parviendra à une équation
en
dont le degré sera
soient
et
respectivement, le nombre de ses variations et celui de ses permanences ; ce qui donnera
Si la proposée
est de degré impair, le nombre de ses racines imaginaires sera
![{\displaystyle \pm (v-p)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6908bcafe134e3ed82e8acb3237ed43719707ce2)
et si, au contraire, elle est d’un degré pair, le nombre de ses racines imaginaires sera
![{\displaystyle \pm (v-p+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2910a682207fb34455c0090038f4dc941ed4bb)
Cela posé, soit l’équation du cinquième degré,
![{\displaystyle x^{5}-5x^{4}-290x^{3}+890x^{2}+25025x-25621=0,\qquad (\mathrm {X} =0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485409494a527d5651b9ba5b3dcddb96cc2171ac)
elle peut être mise successivement sous les diverses formes que voici :
![{\displaystyle (x-1)\left(x^{4}-4x^{3}-294x^{2}+596x+25621\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017a470cb36b92b5ecb7cf095a29a8dd364ed8de)
![{\displaystyle (x-1)\left(x^{2}-2x-149+6{\sqrt {-95}}\right)\left(x^{2}-2x-149-6{\sqrt {-95}}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1534b43b738794fb154a442ec19edf7c74f8371b)
![{\displaystyle (x-1)\left\{x-1+{\sqrt {150+6{\sqrt {-95}}}}\right\}\left\{x-1+{\sqrt {150-6{\sqrt {-95}}}}\right\}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c1c23a42e06505968ce01887de4bcfc484803b)
![{\displaystyle \left\{x-1-{\sqrt {150+6{\sqrt {-95}}}}\right\}\left\{x-1-{\sqrt {150-6{\sqrt {-95}}}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b55b96e628cf6e92aed927a632f0fb89c502228)
ainsi, elle a bien incontestablement une seule racine réelle et quatre
racines imaginaires. Appllquons-lui le procédé indiqué dans l’énoncé
du théorème en discussion.
Sa dérivée est
![{\displaystyle 5x^{4}-20x^{3}-870x^{2}+1780x+25025=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833c61987080eda5d4e3e5443386734fe95451c8)
ou, en simplifiant,
![{\displaystyle x^{4}-4x^{3}-174x^{2}+356x+5005=0\,;\qquad (\mathrm {X} '=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97de9fd91793d42ba862c80335f4fd1fa87bb728)
équation qui revient à