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QUESTIONS

$2\left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{2n}\right)+2\left(q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{2n}\right)+2(2n-1)\,;$

le degré de la proposée $\mathrm {X} =0$ sera donc

$2\left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{2n}\right)+2\left(q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{2n}\right)+4n-1\,;$

et puisqu’elle est supposée n’avoir que $2n+1$ racines réelles, le nombre de ses racines imaginaires sera

$2\left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{2n}\right)+2\left(q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{2n}\right)+2(n-1).$

Mais, d’un autre côté, le nombre des variations de l’équation étant ici

$2\left(p_{1}+p_{2}++p_{3}+\ldots +p_{2n}\right)+(2n-1)\,;$

et le nombre de ses permanences

$2\left(q_{1}+q_{2}+q_{3}+\ldots +q_{2n}\right)+(2n-1)\,;$

le nombre des racines imaginaires de la proposée $\mathrm {X} =0,$ devrait être, suivant le théorème

$\pm 2\left\{\left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{2n}\right)-\left(q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{2n}\right)\right\}\,;$

nombre qui pourra différer du véritable autant qu’on le voudra.

Dans les degrés pairs, les choses se passeront encore à peu près de la même manière. Seulement les branches extrêmes de la courbe seront toutes deux situées au-dessus de l’axe des $x\,;$ de sorte qu’en désignant par $2n$ le nombre des racines réelles de la proposée, on aura $n+1$ séries de sommets positifs telles que ceux des deux séries extrêmes seront en nombre pair et tous les intermédiaires en nombre impair ; on aura ensuite $n$ séries de sommets négatifs, en nombre impair dans chaque série ; de manière que les nombres de la première série pourront être représentés par