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RÉSOLUES.

$2p_{1},\quad 2p_{2}+1,\quad 2p_{3}+1,\ldots 2p_{n+1},$

et ceux de la seconde par

$2q_{1}+1,\quad 2q_{2}+1,\quad 2q_{3}+1,\ldots 2q_{n}+1\,;$

le nombre total des sommets, tant positifs que négatifs, sera donc

$2\left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n+1}\right)+2\left(q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}\right)+(2n-1)\,;$

de sorte que le degré de la proposée $\mathrm {X} =0$ sera

$2\left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n+1}\right)+2\left(q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}\right)+2n\,;$

puis donc que nous lui avons supposé $2n$ racines réelles, le nombre de ses racines imaginaires devra être

$2\left(p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots +p_{n+1}\right)+2\left(q_{1}+q_{2}+q_{3}+\ldots +q_{n}\right).$

D’un autre côté, le nombre des variations de l’équation $\mathrm {Y} =0$ étant ici

$2\left(p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots +p_{n+1}\right)+(n-1),$

et le nombre de ses variations

$2\left(q_{1}+q_{2}+q_{3}+\ldots +q_{n}\right)+n\,;$

le nombre des racines imaginaires de la proposée devrait être suivant le théorème,

$\pm 2\left\{\left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n+1}\right)-\left(q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}\right)\right\}$

nombre qui différera du véritable tout autant qu’on le voudra.