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QUESTIONS

Les corrections sont expliquées en page de discussion

\left.{\begin{aligned}&+,+,+,-\,;\\&+,+,-,-\,;\\&+,-,-,-\,;\end{aligned}}\right\}

une variation et deux permanences ;

\,+,-,+,-\,;\quad

trois variations.

Ces indices sont donc plus étendus que ceux du cas précédent ; car le premier, une variation et deux permanences est celui de la réalité des quatre racines de la proposée $X=0$ ; donc, si je ne m’abuse (et je désire que cela soit) le théorème est en défaut dès le quatrième degré. Du moins est-il certain que l’induction qui est l’objet du mémoire côté n’est ni assez développée ni assez prolongée, et qu’elle n’arrache pas l’assentiment du lecteur pour le cas général^[1].

↑ Tout se réduit évidemment, dans cette question, à savoir si les trois premières formes sont purement hypothétiques, ou si, au contraire, quelqu’une d’entre elles peut réellement s’offrir au calculateur ; or, pour cela, il suffit d’un seul exemple ; car c’est ici, et ici seulement qu’il est permis de s’appuyer des faits, et d’invoquer en sa faveur le témoignage de l’expérience.
Soit donc prise l’équation

$x^{4}+7656x^{2}-61504x+11955852=0\,;\qquad (\mathrm {X} =0)$

qui revient à

$\left(x^{2}+16x+5878\right)\left(x^{2}-16x+2034\right),$

ou encore à

$\left\{(x+8)^{2}+5814\right\}\left\{(x-8)^{2}+1970\right\}=0\,;$

et qui a ainsi, bien certainement ses quatre racines imaginaires ; sa dérivée est

$x^{3}+3828x-15376=0,\qquad (\mathrm {X} '=0)$

ou

$\left(x^{2}+4x+3844\right)(x-4)=0,$

ou encore

$\left\{(x+2)^{2}+3840\right\}(x-4)=0.$

Les abscisses des sommets de la courbe parabolique dont l’équation est

[p232-1] Tout se réduit évidemment, dans cette question, à savoir si les trois premières formes sont purement hypothétiques, ou si, au contraire, quelqu’une d’entre elles peut réellement s’offrir au calculateur ; or, pour cela, il suffit d’un seul exemple ; car c’est ici, et ici seulement qu’il est permis de s’appuyer des faits, et d’invoquer en sa faveur le témoignage de l’expérience.
Soit donc prise l’équation

$x^{4}+7656x^{2}-61504x+11955852=0\,;\qquad (\mathrm {X} =0)$

qui revient à

$\left(x^{2}+16x+5878\right)\left(x^{2}-16x+2034\right),$

ou encore à

$\left\{(x+8)^{2}+5814\right\}\left\{(x-8)^{2}+1970\right\}=0\,;$

et qui a ainsi, bien certainement ses quatre racines imaginaires ; sa dérivée est

$x^{3}+3828x-15376=0,\qquad (\mathrm {X} '=0)$

ou

$\left(x^{2}+4x+3844\right)(x-4)=0,$

ou encore

$\left\{(x+2)^{2}+3840\right\}(x-4)=0.$

Les abscisses des sommets de la courbe parabolique dont l’équation est

[1]