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RÉSOLUES.

$+,-,+\,;$

$+,+,+\,;$

qui donnent encore deux variations ou deux permanences, comme dans le cas des racines réelles de $X'=0\,;$ donc le théorème vaut pour le troisième degré.

Au quatrième degré. Supposons d’abord que $X=0$ ait deux racines imaginaires, et admettons en outre que $X'=0$ ait ses trois racines réelles ; $Y=0$ aura aussi ses trois racines réelles, deux positives et une négative, ou bien trois négatives ; ce qui sera indiqué par deux variations et une permanence, ou bien par trois permanences ; si, au contraire, nous admettons que $X'$ ait deux racines imaginaires ; $Y=0$ en aura en même nombre ; mais sa racine réelle est négative ; et, comme d’ailleurs le produit des deux racines imaginaires est positif, le produit de ses trois racines sera négatif ; le dernier terme de $Y=0$ doit donc être positif, ce qui ne permet, pour la succession des signes de ses termes, que les quatre formes suivantes

$\,+,+,+,+\,;\quad$trois permanences ;

$\left.{\begin{aligned}&+,-,+,+\,;\\&+,-,-,+\,;\\&+,+,-,+\,;\end{aligned}}\right\}$deux variations et une permanence ;

donc encore le théorème a lieu jusqu’ici.

Supposons présentement que $X=0$ ait ses quatre racines imaginaires, et admettons que $X'=0$ a ses trois racines réelles : celles de $Y=0$ le seront aussi et seront de plus toutes trois positives, ce qui correspond à trois variations, et justifie conséquemment le théorème. Admettons ensuite deux racines imaginaires dans $X'=0.$ Il y en aura également deux dans $Y=0\,;$ et sa racine réelle sera positive ; ce qui exige que son dernier terme soit négatif ; on aura donc, pour les formes possibles ; dans la succession des signes de ses termes