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THÉORÈMES

${\begin{aligned}a(a+k)(a+2k)(a+3k)\ldots \left[a+(p-2)k\right]&\\+{\frac {p-1}{1}}b.a(a+k)(a+2k)\ldots \ldots \left[a+(p-3)k\right]&\\+{\frac {p-1}{1}}.{\frac {p-2}{2}}b(b+k).a(a+k)\ldots \left[a+(p-4)k\right]&\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+{\frac {p-1}{1}}.{\frac {p-2}{2}}a(a+k).b(b+k)\ldots \left[b+(p-4)k\right]&\\+{\frac {p-1}{1}}a.b(b+k)(b+2k)\ldots \ldots \left[b+(p-3)k\right]&\\+b(b+k)(b+2k)(b+3k)\ldots \left[b+(p-2)k\right]&\end{aligned}}$

et pour le second

${\begin{aligned}a(a+k)(a+2k)(a+3k)\ldots \left[a+(p-1)k\right]&\\+{\frac {p}{1}}b.a(a+k)(a+2k)\ldots \ldots \left[a+(p-2)k\right]&\\+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}b(b+k).a(a+k)\ldots \left[a+(p-3)k\right]&\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}a(a+k).b(b+k)\ldots \left[b+(p-3)k\right]&\\+{\frac {p}{1}}a.b(b+k)(b+2k)\ldots \ldots \left[b+(p-2)k\right]&\\+b(b+k)(b+2k)(b+3k)\ldots \left[b+(p-1)k\right]&\end{aligned}}$

Or, en. remarquant que