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D’ALGÈBRE.
la formule du binome se trouve donc ainsi démontrée, quel que
soit l’exposant ![{\displaystyle m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd92c867d56467c0f878ef318eefcd701b8ec1a)
Si, dans la même équation, on suppose
elle deviendra
![{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+\ldots \right)^{Ax}=1+{\frac {Ax}{1}}+{\frac {A^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {A^{3}x^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1885c3a12431bd2a508cfebb4cfcfe7c7c64ea0f)
La série du premier membre est, comme l’on sait, un nombre
incommensurable[1], compris entre
et
c’est la base du système de logarithmes népériens ; en le représentant par
suivant
l’usage, on aura
![{\displaystyle e^{Ax}=1+{\frac {Ax}{1}}+{\frac {A^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {A^{3}x^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e0543cfb5b9b845a2131bb1bc055b426c24112)
Si l’on fait
auquel cas
sera le logarithme népérien de
on aura
![{\displaystyle a^{x}=1+{\frac {x\operatorname {l} a}{1}}+{\frac {x^{2}\operatorname {l} ^{2}a}{1.2}}+{\frac {x^{3}\operatorname {l} ^{3}a}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318f6fb933b71b3ff89d4ba57aae681877f1e79f)
formule qui donne le développement des exponentiels en séries ou,
ce qui revient au même, le développement d’un nombre
en fonction de son logarithme.
Si, dans cette dernière formule, on change
en
et
en
elle deviendra
![{\displaystyle (1+x)^{m}=1+{\frac {m\operatorname {l} (1+x)}{1}}+{\frac {m^{2}\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{1.2}}+{\frac {m^{3}\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a95494f977817c80b02b1891bd321a7376ec51)
mais on a, d’un autre côté,
- ↑ Voyez la page 50 du présent volume.