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DE TOUS LES ORDRES.

$q''x^{2}+(q'+r'y)x+\left(1+ry+sy^{2}\right)+(p'''x+p'')\left[(g+h)x-ky\right]=0\,;$

en y faisant $x=0,$ l’équation (8) se trouve remplacée par celle-ci

$sy^{2}+(r-p''k)y+1=0\,;$

si nous supposons de plus que la ligne du second ordre qui a son centre à l’origine soit un cercle, nous aurons $k=-1,$ ce qui réduira cette dernière équation à

$sy^{2}+(r-p'')y+1=\,;0\qquad$(13)

mais la formule (9) donne $p''=-{\frac {r}{2R}}$ ; substituant donc cette valeur, ainsi que les valeurs (12) de $s$ et $r,$ dans l’équation (13), elle deviendra

$2Ry^{2}-\left\{2R(Y+Y')+YY'\right\}y+2RYY'=0,$

d’où

$R={\frac {y}{2}}.{\frac {Y}{Y-y}}.{\frac {Y}{Y'-y}}\,;\qquad$(14)

formule qui va nous fournir, pour la construction du rayon de courbure, en un quelconque des points d’une ligne de troisième ordre, un procédé tout-à-fait analogue à celui que nous avons déjà indiqué pour celles du second, à la page 232 du VI.^e volume de ce recueil : voici en quoi il consiste.

On mènera d’abord la tangente et la normale au point dont il s’agit ; la normale coupera la courbe en deux nouveaux points dont on prendra les distances au point de contact de la tangente pour $Y,Y'.$

La tangente coupera la courbe en un point par lequel on mènera à la normale une parallèle qui, par sa rencontre avec la courbe,