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DE TOUS LES ORDRES.

les axes des $x$ et des $y$ doivent être respectivement tangens aux intersections de la surface (19) par les plans des $xz$ et des $yz$ ; d’où il suit que la fonction $\operatorname {F} _{m}$ ne doit renfermer ni le terme constant ni les termes du premier ordre en $x$ et $y.$

De plus, puisque nous supposons que la courbe intersection de la surface avec son plan tangent ne passe pas par le point de contact ; le premier membre de l’équation (20) doit renfermer un facteur du second degré, en $x,y,$ exprimant ce point de contact, c’est-à-dire, l’origine des coordonnées.

Enfin, puisque les axes des $x$ et des $y$ sont supposé dirigés suivant les tangentes principales ; ce facteur du second degré, qui ne doit d’ailleurs contenir ni termes constans ni termes du premier ordre, ne doit pas non plus renfermer de terme en $xy$^[1], et doit conséquemment être de la forme $Px^{2}+Qy^{2}\,;$ au moyen de quoi l’équation (20) devient

$(Px^{2}+Qy^{2}){\mathcal {f}}_{m-2}(x,y)=0,\qquad$(21)

${\mathcal {f}}_{m-2}$ désignant une fonction rationnelle et entière en $x$ et $y$ du degré $m-2$ ; d’où l’on voit que

${\mathcal {f}}_{m-2}(x,y)=0,\qquad$(22)

sera l’équation de l’intersection de la surface (19) par son plan tangent ; ce sera donc aussi l’équation d’une surface cylindrique ayant sa génératrice parallèle à l’axe des $z,$ et coupant le plan des $xy$ suivant cette courbe.

Supposons que, dans $\operatorname {F} _{m-1},$ le terme indépendant de $x$ et $y$ soit l’unité, ce qui est permis, puisque nous donnons des coefficiens à tous les autres termes ; si alors nous représentons par $R,R',$ le

1. Voyez là dessus la page 179 de ce volume.