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LIGNES ET SURFACES

plus grand et le moindre rayons de courbure à l’origine ; nous aurons (9)

$R=-{\frac {1}{2P}},\qquad R'=-{\frac {1}{2Q}}\,;$

d’où

$P=-{\frac {1}{2R}},\qquad Q=-{\frac {1}{2R'}}\,;$

on aura donc

$\operatorname {F} _{m}(x,y)=-{\frac {R'x^{2}+Ry^{2}}{2RR'}}.{\mathcal {f}}_{m-2}(x,y)\,;$

au moyen de quoi l’équation (19) deviendra

$(R'x^{2}+Ry^{2}).{\mathcal {f}}_{m-2}(x,y)-2RR'z\left[\operatorname {F} _{m-1}(x,y)+z\operatorname {F} _{m-2}(x,y)\right.$

$+z^{2}.\left.\operatorname {F} _{m-3}(x,y)+\ldots +z^{m-2}\operatorname {F} _{1}(x,y)+z^{m-1}\operatorname {F} _{0}(x,y)\right]\qquad$(23)

Considérons présentement la surface du second ordre que nous avons supposé avoir son centre à l’origine. Puisque nous avons supposé que l’axe des $z$ était le conjugué du plan diamétral qui coïncide avec le plan des $xy,$ il s’ensuit que les sections de cette surface par les plans des $xz$ et des $yz$ doivent être des lignes du second ordre rapportées à leurs centres et à leurs diamètres conjugués ; et que par conséquent l’équation de cette surface ne saurait être que de la forme

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy=k,\qquad$(24)

Soient

$\left\{{\begin{aligned}&x=gz\\&y=hz\,;\\\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&x=g'z\\&y=h'z\,;\\\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&x=g''z\\&y=h''z\,;\\\end{aligned}}\right.\quad$(25)

les équations de trois de ses diamètres, conjugués les uns aux autres. L’équation de son plan tangent en un point $(x',y',z')$ sera