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LIGNES ET SURFACES

$\left.{\begin{aligned}2Ag\ g'\,+2Bh\ \ h'+F(g\,\ h'\,+h\,\ g')+2C=0,&\\2Ag'g''+2Bh'h''+F(g'h''+h'g'')+2C=0,&\\2Ag''g\,+2Bh''h\ +F(g''h\ +h''g\ )+2C=0\,;&\\\end{aligned}}\right\}\quad (29)$

Ce sont donc là les équations nécessaires et suffisantes pour exprimer que les diamètres (25) sont conjugués les uns aux autres. On voit que des six quantités $g,g',g'',h,h',h'',$ il y en a trois qui demeurent tout-à-fait indéterminées.

Considérons présentement la surface conique du second ordre, ayant pour équation

$R'x^{2}+Ry^{2}+rz^{2}+pxz+qyz=0.\qquad$(30)

Cette surface conique a évidemment son sommet ou centre à l’origine ; en outre, puisque son équation ne renferme point le terme en $xy,$ toutes ses sections parallèles au plan des $xy$ sont des lignes du second ordre ayant leurs diamètres principaux parallèles aux axes des $x$ et des $y,$ c’est-à-dire, aux tangentes principales menées à la surface (19) par l’origine ; enfin, à cause des coefficiens $R',R,$ de $x^{2},y^{2}$ les longueurs de ces diamètres principaux sont proportionelles aux racines quarrées des rayons de plus grande et de moindre courbure de la surface (19) à l’origine.

Remarquons présentement que, quels que soient $p,q,r,$ que nous supposons ici tout-à-fait indéterminés, on pourra toujours assujettir la surface conique (30) à passer par trois diamètres conjugués de la surface (24), puisque, pour déterminer les six coefficiens $g,g',g'',h,h',h'',$ des équations (25) de ces diamètres, on aura seulement, outre les trois équations (29), les trois équations

$\left.{\begin{aligned}R'g\ \,^{2}+Rh\ \,^{2}+K+pg\ \,+qh\ \ ,&\\R'g'\,^{2}+Rh'\,^{2}+K+pg'\,+qh'\ ,&\\R'g''^{2}+Rh''^{2}+K+pg''+qh'',&\end{aligned}}\right\}\quad (31)$