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DE TOUS LES ORDRES.

qui expriment que les diamètres (25) sont sur la surface (30).

Ainsi, en supposant, dans l’équation de cette surface conique, que $p,q,r$ sont tout-à-fait indéterminés, cette surface sera exactement conditionnée comme l’exige l’énoncé du théorème. Elle coupera la surface (19) suivant un système de courbes ; variables comme les coefficiens $p,q,r,$ qui la déterminent.

Veut-on avoir l’équation commune à cette surface conique et à la surface cylindrique (22) ; il ne s’agira pour cela que de prendre le produit des équations de ces deux surfaces ; ce qui donnera

$\left(R'x^{2}+Ry^{2}+rz^{2}+pxz+qyz\right).{\mathcal {f}}_{m-2}(x,y)=0.\qquad$(32)

Si l’on veut présentement savoir suivant quelles courbes le système de ces surfaces conique et cylindrique coupe la surface donnée de l’ordre $m,$ il ne s’agira que de considérer comme équations d’un même problème indéterminé à trois variables, soit les deux équations (23, 32), soit toutes combinaisons de ces deux équations qu’on voudra leur substituer ; on pourra donc, en particulier, substituer à l’équation (28) sa différence avec l’équation (32), qui est, en divisant par $z,$ ce qui revient à exclure le plan des $xy$,

$2RR'\left[\operatorname {F} _{m-1}(x,y)+z\operatorname {F} _{m-2}(x,y)+\ldots +z^{m-2}.\operatorname {F} _{1}(x,y)+z^{m-1}.\operatorname {F} _{0}(x,y)\right]$

$(rz+px+qy).{\mathcal {f}}_{m-2}(x,y)=0\,;\qquad$(33)

d’où il suit que ces courbes seront toutes situées sur la surface (33), c’est-à-dire, sur une surface du degré $m-1$, laquelle ne passe ni par l’origine ni par la courbe (22), conformément à l’énoncé du théorème.

Si, dans la vue de savoir en quels points cette surface coupe l’axe des $z,$ on suppose, à la fois, dans l’équation (33) $x=0$, $y=0,$ l’équation résultante en $z$ ne renfermera plus les indéterminées $p,q,r,$ ce qui prouve que, la surface conique variant, ces points restent fixes sur l’axe des $z$ ; ce qui est encore conforme à l’énoncé du théorème, qui se trouve ainsi complètement démontré.

Il est aisé de voir, au surplus, que, pour chaque surface conique, en particulier, la condition de passer par les intersections