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ANGLE TRIÈDRE ET TÉTRAÈDRE.
représentant ensuite par
l’angle droit plan ; et exprimant que
tout le plan en vaut quatre, nous aurons
![{\displaystyle A+B+C+A'+B'+C'+T=4\Delta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e1509c17d6c8bca826bafaac8bce82abdcb636)
prenant la demi-somme de ces deux équations et transposant, il
viendra, en réduisant et divisant par ![{\displaystyle \Delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54793fbbac10eddbdedded44e39ff274fffa8466)
![{\displaystyle {\frac {A}{\Delta }}+{\frac {B}{\Delta }}+{\frac {C}{\Delta }}=2+{\frac {T}{\Delta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06d705780ddc199859cff4b5394fe7685a94159)
mais la fraction
dont le numérateur seul est fini, peut être négligée
vis-à-vis du nombre entier
en la supprimant donc et chassant le
dénominateur
il viendra finalement
![{\displaystyle A+B+C=2\Delta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664fa43950cac6302500e7285b202021a2af412d)
c’est-à-dire, la somme des trois angles de tout triangle vaut deux angles droits. C’est la xxxii.e proposition d’Euclide.
III. Soient
les trois arêtes d’un même angle trièdre
dont les angles dièdres soient respectivement désignés par
Soient désignés par
,
,
les prolongements de ces
arêtes au-delà du sommet de l’angle. Les trois droites
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
, ![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
, ![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
,
seront les arêtes de huit angles trièdres que nous désignerons, d’après
leurs arêtes, par
![{\displaystyle (ABC),\qquad (AB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe3c3b14d46b81b7ad72cc15aa7209ca257f7ff)
![{\displaystyle ^{\displaystyle C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd410c745490a87c0bf0de2d9504cb7e16fd0c86)
![{\displaystyle ),\qquad (A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc79571a30bbff4a029bf3c7a52e58e0ebb9f88)
![{\displaystyle ^{\displaystyle B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc651e79eedc10e6f72a6736e21d2a81dff4f79e)
![{\displaystyle C),\qquad (}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1126d9e51d9812ea6bced096f4deb3227e9cff)
![{\displaystyle ^{\displaystyle A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e51d589643d859f6b937aba0401f629274129c)
![{\displaystyle BC),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d22c264fe45ed69c0042a0ade2d592bd784769c)
![{\displaystyle (}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ccb001e791b6a7340825e0e0b1a60e4e03f3d78)
![{\displaystyle ^{\displaystyle CBA}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc00d575e1326943dd1745c6b0f93f5619d55f8)
![{\displaystyle )\qquad (}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa2e0520793496d4a0edb1347e320d3e2435a46)
![{\displaystyle ^{\displaystyle BA}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07131fcc24d33cb10d4811f85398d48ca1232e92)
![{\displaystyle C),\qquad (}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1126d9e51d9812ea6bced096f4deb3227e9cff)
![{\displaystyle ^{\displaystyle A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e51d589643d859f6b937aba0401f629274129c)
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![{\displaystyle ^{\displaystyle C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd410c745490a87c0bf0de2d9504cb7e16fd0c86)
![{\displaystyle ),\qquad (A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc79571a30bbff4a029bf3c7a52e58e0ebb9f88)
![{\displaystyle ^{\displaystyle CB}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab4f1e0120a582764ae9040b5e718c6c20e21ce)
![{\displaystyle ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9335255f0f7191ed94a4bf9909fdd0cf04f6cc93)
et qui seront tels que ceux de la seconde ligne seront les opposés
au sommet de leurs correspondans dans la première, et leur seront
conséquemment égaux par ce qui précède ; de sorte qu’on aura