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ANGLE TRIÈDRE ET TÉTRAÈDRE.

représentant ensuite par $\Delta$ l’angle droit plan ; et exprimant que tout le plan en vaut quatre, nous aurons

$A+B+C+A'+B'+C'+T=4\Delta \,;$

prenant la demi-somme de ces deux équations et transposant, il viendra, en réduisant et divisant par $\Delta ,$

${\frac {A}{\Delta }}+{\frac {B}{\Delta }}+{\frac {C}{\Delta }}=2+{\frac {T}{\Delta }}.$

mais la fraction ${\frac {T}{\Delta }}$ dont le numérateur seul est fini, peut être négligée vis-à-vis du nombre entier $2\,;$ en la supprimant donc et chassant le dénominateur $\Delta ,$ il viendra finalement

$A+B+C=2\Delta \,;$

c’est-à-dire, la somme des trois angles de tout triangle vaut deux angles droits. C’est la xxxii.^e proposition d’Euclide.

III. Soient $A,B,C$ les trois arêtes d’un même angle trièdre $T,$ dont les angles dièdres soient respectivement désignés par $(A),(B),(C).$ Soient désignés par $^{\displaystyle A}$, $^{\displaystyle B}$, $^{\displaystyle C}$ les prolongements de ces arêtes au-delà du sommet de l’angle. Les trois droites $A$$^{\displaystyle A}$, $B$$^{\displaystyle B}$, $C$$^{\displaystyle C}$, seront les arêtes de huit angles trièdres que nous désignerons, d’après leurs arêtes, par

$(ABC),\qquad (AB$$^{\displaystyle C}$$),\qquad (A$$^{\displaystyle B}$$C),\qquad ($$^{\displaystyle A}$$BC),$

$($$^{\displaystyle CBA}$$)\qquad ($$^{\displaystyle BA}$$C),\qquad ($$^{\displaystyle A}$$B$$^{\displaystyle C}$$),\qquad (A$$^{\displaystyle CB}$$),$

et qui seront tels que ceux de la seconde ligne seront les opposés au sommet de leurs correspondans dans la première, et leur seront conséquemment égaux par ce qui précède ; de sorte qu’on aura