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ANGLE PLAN, TRIANGLE,

$(AB)+($$^{\displaystyle A}$$B)=($$^{\displaystyle BA}$$)+(A$$^{\displaystyle B}$$),$

$(AB)+(A$$^{\displaystyle B}$$)=($$^{\displaystyle BA}$$)+($$^{\displaystyle A}$$B)\,;$

prenant successivement la demi-somme et la demi-différence de ces deux équations, il viendra, en réduisant,

$(AB)=($$^{\displaystyle BA}$$),\qquad (A$$^{\displaystyle B}$$)=($$^{\displaystyle A}$$B)\,;$

c’est-à-dire, deux droites qui se coupent sur un plan forment des angles opposés par le sommet, égaux entre eux. C’est la xv.^e proposition d’Euclide, de laquelle on peut facilement conclure que deux plans qui se coupent dans l’espace forment des angles opposés par l’arête, égaux entre eux.

II. Soient trois droites indéfinies, tracées sur un même plan, et se coupant deux à deux ; elles diviseront ce plan en sept régions ; dont une seule limitée et triangulaire, que nous désignerons par $T\,;$ trois autres seront les opposés au sommet des trois angles du triangle, nous les désignerons par $A,B,C\,;$ enfin, les trois derniers seront les espaces indéfinis compris entre chaque côté du triangle et les prolongemens des deux autres ; nous les représenterons par $A',B',C',$ respectivement opposés à $A,B,C.$

Exprimant que les angles opposés au sommet sont égaux, nous aurons d’abord

${\begin{aligned}&A=A'+T,\\&B=B'+T,\\&C=C'+T\,;\end{aligned}}$

d’où, en ajoutant,

$A+B+C=A'+B'+C'+3T,$