Démonstration. On s’assurera facilement de la vérité de ce théorème en remarquant que la détermination de chacun des points du point par exemple, revient à celle que donne M. Brianchon, dans son Mémoire sur les lignes du second ordre, où il propose (Art. LIV) de décrire une hyperbole qui touche quatre droites données ; et qui ait l’une de ses asymptotes parallèle à une droite donnée de position ; car, si nous supposons que les quatre droites (fig. 4) soient les tangentes données à l’hyperbole cherchée, qui doit avoir en outre, une de ses asymptotes parallèle à la droite la parallèle à cette dernière droite conduite par rencontrera la courbe cherchée en un point que nous représenterons par et qui sera situé à l’infini ; on connaîtra donc quatre tangentes et un point de l’hyperbole cherchée ; on pourra donc la construire d’après l’article LI de l’ouvrage cité. Pour cela, il faudra joindre le point au point c’est-à-dire, mener par une parallèle à puis mener par l’une des diagonales du quadrilatère simple qui, ayant pour l’un de ses deux côtés non parallèles, a son opposé sur et le point de rencontre de cette droite avec la première sera un des points de la courbe. Or, on aurait tout aussi bien pu mener l’autre diagonale du quadrilatère ; et son intersection avec aurait été également un point de la courbe ; or, cette cette courbe, ayant déjà un point sur n’en saurait avoir deux autres sur cette droite ; donc, l’autre diagonale doit également passer par le point qui est évidemment le milieu de la portion de la parallèle à conduite par interceptée entre et ce qui démontre la première partie de
d’être vrai, lorsque les droites, au lieu d’être parallèles à une droite fixe concourent en un point fixe quelconque.
Tout cela paraît pouvoir se démontrer facilement, au moyen, de ce qui a été dit à la page 183 du VII.e volume de ce recueil.
