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THÉORÈMES ET PROBLÈMES

${\rm {{\frac {AA'}{BB''}}={\frac {CA}{BC}},\qquad {\frac {BB'}{CC''}}={\frac {AB}{CA}},\qquad {\frac {CC'}{AA''}}={\frac {BC}{AB}}\,;}}$

ce qui donne, en multipliant,

${\rm {{\frac {AA'.BB'.CC'}{AA''.BB''.CC''}}=1,}}$

ou

${\rm {AA'.BB'.CC'=AA''.BB''.CC'',}}$

et démontre ainsi la première partie de la double égalité ci-dessus.

Par la même construction, les droites ${\rm {A}}a,{\rm {B}}b,{\rm {C}}c$ sont respectivement parallèles aux droites ${\rm {{BB',CC',AA'}\,;}}$ d’où, il résulte que les triangles ${\rm {CBB',BAA',ACC'}}$ sont respectivement semblables aux triangles ${\rm {C}}a{\rm {{A},}}$${\rm {B}}c{\rm {C,A}}b{\rm {B,}}$ et qu’ainsi on a

${\frac {\rm {BB'}}{{\rm {A}}a}}={\rm {{\frac {CB'}{CA}},\qquad {\frac {\rm {AA'}}{{\rm {C}}c}}={\rm {{\frac {BA'}{BC}},\qquad {\frac {\rm {CC'}}{{\rm {B}}b}}={\rm {{\frac {AC'}{AB}}\,;}}}}}}$

ce qui donne, en multipliant

${\frac {\rm {AA'.BB'.CC'}}{{\rm {A}}a.{\rm {B}}b.{\rm {C}}c}}={\rm {{\frac {BA'.CB'.AC'}{AB.BC.CA}},}}$

mais, d’après la construction, on a

${\rm {BA'=BC+CA,\qquad CB'=CA+AB,\qquad AC'=AB+BC\,;}}$

donc enfin

${\frac {\rm {AA'.BB'.CC'}}{{\rm {A}}a.{\rm {B}}b.{\rm {C}}c}}={\rm {{\frac {BC+CA}{AB}}.{\frac {CA+AB}{BC}}.{\frac {AB+BC}{CA}}\,;}}$

ce qui démontre la seconde partie de notre double égalité.

Soient ${\rm {B,B',B'',}}$ respectivement, les points où les côtés ${\rm {A'A'',A''A,}}$${\rm {AA'}}$ d’un triangle ${\rm {AA'A''}}$ sont rencontrés par les droites