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DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

qui, partant de ses sommets, divisent ses angles en deux parties égales. Suivant un théorème connu (voyez la Géométrie de M. Legendre) ; on aura

${\rm {AA'.AA''={\overline {AB}}^{2}+A'B.A''B\,;}}$

on aura de plus, par un autre théorème connu ;

${\rm {AA':AA''::A'B:A''B,}}$

et par suite

${\rm {AA'+AA'':A'B+A''B::AA':A'B::AA'':A''B\,;}}$

ou

${\rm {AA'+AA'':A'A''::AA':A'B::AA'':A''B}}$

de cette double proportion on tirera

${\rm {A'B={\frac {AA'.A'A''}{AA'+AA''}},\qquad A''B={\frac {AA''.A'A''}{AA'+AA''}}\,;}}$

substituant ces deux valeurs dans la première équation on en tirera

${\rm {{\overline {AB}}^{2}=AA'.AA''-{\frac {AA'.AA''.{\overline {A'A''}}^{2}}{(AA'+AA'')^{2}}}\,;}}$

ou encore

${\rm {{\overline {AB}}^{2}=AA'.AA''.{\frac {(AA'+AA'')^{2}-{\overline {A'A''}}^{2}}{(AA'+AA'')^{2}}}}}$

${\rm {=AA'.AA''.{\frac {(AA'+AA''+A'A'')(AA'+AA''-A'A'')}{(AA'+AA'')^{2}}}}}$

Cela posé, désignons simplement par $c,c',c''$ les trois côtés d’un triangle et par $d,d',d''$ les droites qui, divisant ses angles en deux parties égales, se terminent aux côtés opposés ; nous aurons, par ce qui précède