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RECHERCHES

trouve de régulières, que parce qu’il en est qui, bien que d’origine différente, rentrent pourtant les unes dans les autres. Elles se réduisent toutes à six distinctes, conjuguées deux à deux, et telles que les conjuguées sont de même classe, l’une par excès et l’autre par défaut, et déduites de deux divisions régulières, conjuguées elles-mêmes l’une à l’autre, comme on le voit par le tableau suivant.

1.^o Une surface dont les $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {compartimens}}\\&{\rm {sommets}}\end{aligned}}\right\}$ sont $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {quadrangulaires}}\\&{\rm {t{\acute {e}}tra{\grave {e}}dres}}\end{aligned}}\right\}$

et dont les $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {sommets}}\\&{\rm {compartimens}}\end{aligned}}\right\}$ sont alternativement $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {tri{\grave {e}}dres\ et\ hexa{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {triangulaires\ et\ hexagonaux}}\end{aligned}}\right\}$.

2.^o Une surface dont les $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {compartimens}}\\&{\rm {sommets}}\end{aligned}}\right\}$ sont $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {triangulaires}}\\&{\rm {tri{\grave {e}}dres}}\end{aligned}}\right\}$et dont

les $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {sommets}}\\&{\rm {compartimens}}\end{aligned}}\right\}$ sont alternativement $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {tri{\grave {e}}dres\ et\ dod{\acute {e}}ca{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {triangulaires\ et\ dod{\acute {e}}cagonaux}}\end{aligned}}\right\}$.

3.^o Une surface dont les $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {compartimens}}\\&{\rm {sommets}}\end{aligned}}\right\}$ sont $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {triangulaires}}\\&{\rm {tri{\grave {e}}dres}}\end{aligned}}\right\}$et dont

les $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {sommets}}\\&{\rm {compartimens}}\end{aligned}}\right\}$ sont alternativement $\left\{{\begin{aligned}&{\rm {t{\acute {e}}tra{\grave {e}}dres\ et\ octa{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {quadrangulaires\ et\ octogonaux}}\end{aligned}}\right\}$.

Passons enfin aux polyèdres réguliers à faces de grandeur finie, enfermant un espace nul ou infini, c’est-à-dire aux polygones et prismes réguliers ; chaque polygone régulier donnera, en désignant par $m$ le nombre de ses sommets

1.^o Un prisme régulier indéfini de $m$ faces.

2.^o Un corps formé de deux pyramides régulières opposées base à base, ayant $2m$ faces, $3m$ arêtes et $m+2$ sommets.

3.^o Un polygone du même nombre $m$ de côtés.

4.^o Un polygone d’un nombre de côtés double ou $2m.$

Quant au prisme régulier indéfini de $m$ faces, on en déduira

1.^o Un autre prisme régulier du même nombre $m$ de faces.

2.^o Un prisme régulier d’un nombre de faces double ou $2m.$

3.^o Un polygone régulier de $m$ côtés.

4.^o Enfin, un prisme régulier d’une longueur finie, ayant $2m$ sommets, $3m$ arêtes et $m+2$ faces dont $m$ quadrangulaires.

On voit par là que ces deux dernières sortes de polyèdres réguliers