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SUR LES POLYÈDRES.

$A=18,\qquad F=12,\qquad S=4.$

Il s’agira ensuite de décomposer $9,$ valeur de $\phi$ en deux parties ${\mathcal {f}}$ et ${\mathcal {f}}',$ dont aucune ne soit moindre que $3$. Prenant, par exemple, ${\mathcal {f}}=6,$ d’où ${\mathcal {f}}'=3$ ; on obtiendra un polyèdre de $12$ faces triangulaires, ayant $4$ sommets hexaèdres et $4$ sommets trièdres, et $18$ arêtes, polyèdre possible ; car c’est un des deux que nous avons cité ci-dessus pour exemple.

Pour les formules (II), en posant $s+s'=\sigma ,$ nous aurons

$A={\frac {2{\mathcal {f}}\sigma }{4{\mathcal {f}}-({\mathcal {f}}-2)\sigma }},\quad F={\frac {4\sigma }{4{\mathcal {f}}-({\mathcal {f}}-2)\sigma }},\quad S={\frac {4{\mathcal {f}}}{4{\mathcal {f}}-({\mathcal {f}}-2)\sigma }}\,;$

et il faudra trouver des valeurs entières et positives de ${\mathcal {f}},$ plus grandes que $2,$ qui, jointes à des valeurs entières et positives de $\sigma ,$ plus grandes que $3,$ donnent pour $A,S,F$ des valeurs entières et positives : on pourra prendre ; par exemple, ${\mathcal {f}}=3,\ \sigma =9,$ ce qui donnera

$A=18,\qquad S=12,\qquad F=4.$

Il s’agira ensuite de décomposer $9,$ valeur de $\sigma ,$ en deux parties $s$ et $s',$ dont aucune ne soit moindre que $3$. Prenant, par exemple $s=6,$ d’où $s'=3,$ on obtiendra un polyèdre de $12$ sommets trièdres, ayant $4$ faces triangulaires et $4$ autres hexagonales, et $18$ arêtes. C’est précisément le conjugué du polyèdre que nous venons de signaler ci-dessus ; et que nous aurions pu même en déduire immédiatement.

Enfin, pour les formules (III), en posant à la fois ${\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}'=\phi ,$ $s+s'=\sigma ,$ nous aurons

$A={\frac {2\phi \sigma }{4(\phi +\sigma )-\phi \sigma }},\quad F={\frac {4\phi }{4(\phi +\sigma )-\phi \sigma }},\quad S={\frac {4\sigma }{4(\phi +\sigma )-\phi \sigma }}.$