auxiliaire ; mais cette auxiliaire est du degré celle de de Gua en exige un nombre mais la plus élevée n’est que du degré et les calculs en sont moins difficiles. Au reste, elles conduisent toutes deux au même nombre de conditions. Lagrange s’étonne (Résol. des équat. numériq., dernière édition, note VIII, pag. 165) de ce résultat ; mais je ferai voir que, parmi ces conditions, il s’en trouve qui sont comportées par le système des autres[1] ; et que, par exemple, pour le cinquième degré, ce nombre, qui devrait être dix, se réduit à ou à cinq.
Il résulte de la théorie de de Gua ce beau théorème : savoir, que Quand toutes les racines de sont réelles, si l’on fait disparaître l’un quelconque de ses termes, autre que les termes extrêmes, les deux termes entre lesquels celui-ci se trouverait, s’il n’était pas nul devront être de signes contraires ; d’où il suit que, quand cette condition n’a pas lieu, la proposée a nécessairement des racines imaginaires[2]. (Résolut. des équat. numériq., dernière édition, note VIII, pag. 169).
- ↑ C’est ce que Lagrange avait déjà insinué à la fin de la note III de
l’ouvage cité.
J. D. G.
- ↑ Cette dernière partie du théorème se déduit d’une manière tout autrement simple de la règle de Descartes. On en déduit, plus généralement, 1.o que
toute équation dans laquelle il manque termes consécutifs, entre deux
termes de mêmes signes, a nécessairement au moins racines imaginaires ;
2.o que toute équation dans laquelle il manque termes consécutifs, a nécessairement au moins ou racines imaginaires, suivant que est pair ou
impair ; 3.o enfin, que toute équation qui présente, en plusieurs endroits, de
telles circonstances a au moins la totalité des racines imaginaires annoncées par
chacune d’elles en particulier.
J. D. G.
