On peut parvenir, par des moyens plus élémentaires, au résultat de la méthode de Lagrange. Si, en effet, n’a que des racines réelles ; en la divisant par le facteur essentiellement réel
dans lequel est supposé positif ; on aura un reste composé de termes en et des termes sans En égalant séparément à zéro la somme des uns et celle des autres, on aura deux équations en et entre lesquelles éliminant l’équation résultante en ne devra avoir que des variations, puisque ne doit avoir que des valeurs positives. Cette équation sera d’ailleurs du degré nombre des diviseurs du second degré de l’équation
PROBLÈME II. Déterminer le nombre des racines imaginaires d’une équation d’un degré quelconque ?
Solution. Ce second problème est beaucoup plus difficile que le premier, qui n’en est, au surplus, qu’un cas particulier. Il est résolu depuis long-temps, pour les degrés inférieurs au cinquième, soit par des considérations fondées sur la forme racine des racines, soit par la discussion de l’équation appelée réduite. On peut encore le résoudre, pour les mêmes degrés, soit par l’équation aux quarrés des différences de Lagrange (Voyez les numéros 37, 38, 39 de son ouvrage), soit par la méthode de de Gua. Voici les conditions auxquelles on parvient par ces diverses méthodes.
Premier degré. L’équation ne saurait, dans aucun cas, admettre des racines imaginaires.
Deuxième degré. Soit la proposée Ses deux racines seront réelles si l’on a positives ; elles seront égales si cette quantité est nulle, et imaginaires si elle est négative. Ce
