Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/363

355

IMAGINAIRES.

sont là les trois seuls cas que ce degré soit susceptible d’offrir^[1].

Troisième degré. Soit la proposée $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\,;$ elle aura ses trois racines réelles, si la quantité $27c^{2}+2ac(2a^{2}-9b)+b^{2}(4b-a^{2})$ est négative ou nulle dans ce dernier cas, deux de ses racines seront égales ; et, si cette même quantité est positive, l’équation aura deux racines imaginaires^[2].

Je ferai, à ce sujet, une remarque qui ne sera pas inutile :

1. Il nous paraît de beaucoup préférable d’admettre un coefficient au premier terme, et de prendre pour la proposée $ax^{2}+bx+c=0\,;$ la condition de réalité des racines est alors $b^{2}-4ac=0.$ Or, sous cette forme elle présente divers avantages précieux ; car d’abord on peut y supposer $a,b,c$ entiers, ce qui facilite les substitutions dans les cas particuliers, sur-tout lorsque les coefficiens sont polynômes. En second lieu, les erreurs de calcul ou de copie dans l’équation de condition sont beaucoup plus faciles à découvrir, attendu que, d’une part, cette équation devient homogène, et que de l’autre, les coefficiens également distans des extrêmes doivent y entrer symétriquement. Enfin, sa forme symétrique la rend plus facile à graver dans la mémoire, ce qui n’est pas à négliger.
   J. D. G.
2. Pour les mêmes raisons que dans la précédente note, il nous paraît préférable de mettre l’équation sous la forme
   $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

   la condition de réalité des racines se trouve alors très-symétriquement exprimée par l’inégalité

   $(bc-9ad)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)\left(c^{2}-3bd\right)<0,$

   ce qui revient à dire qu’il faut que l’équation du second degré

   $\left(b^{2}-3ac\right)x^{2}+(bc-9ad)x+\left(c^{2}-3bd\right)=0,$

   ait ses deux racines imaginaires.

   J. D. G.