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IMAGINAIRES.

Quatrième degré. Soit la proposée $x^{4}+px^{2}+qx+r=0.$ Les quatre racines seront réelles, si les trois conditions suivantes sont satisfaites

$p<0\,;\quad p^{2}-4r>0\,;\quad 16r\left(p^{2}-4r\right)^{2}+q^{2}\left(144pr-4p^{3}-27q^{2}\right)>0.$

Les quatre racines seront imaginaires si l’une ou l’autre des deux premières ou toutes les deux ne sont point remplies.

Enfin, deux racines seront réelles et les deux autres imaginaires, si la dernière condition n’est point satisfaite^[1].

Cinquième degré. Soit la proposée $x^{5}+px^{3}+qx^{2}+rx+s=0.$ Sa réciproque sera $x^{5}+{\frac {r}{s}}x^{4}+{\frac {q}{s}}x^{3}+{\frac {p}{s}}x^{2}+{\frac {1}{s}}=0,$ ou, pour abréger, $x^{5}+r'x^{4}+q'x^{3}+p'x^{2}+s'=X=0.$

et l’on voit facilement alors qu’elle ne saurait être satisfaite qu’autant que la première sera remplie, puisqu’autrement la somme de deux quantités positives devrait être négative.

On pourrait également mettre cette seconde condition sous la forme

$\left(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}\right)^{2}-4\left(c^{2}-3bd\right)^{3}<0\,;$

et on en conclurait que la première de Lagrange peut être remplacée par celle-ci

$c^{2}-3bd>0.$
J. D. G.
1. En prenant l’équation $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,$ et posant, pour abréger,
   $bc-6ad=A,\ 3b^{2}-8ac=B,\ bd-16ae=C,\ 3d^{2}-8ce=D,\ cd-6be=E\,;$

   la dernière condition devient

   $\left(C^{2}-BD\right)^{2}-4(AD-CE)(BE-CA)>0,$

   et la première $C>0.$