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RACINES

D’après la méthode de de Gua, exposée plus haut, $X=0$ aura toutes ses racines réelles, si $X'=0$ a toutes ses racines réelles, et si, en même temps, $Z=0,$ résultat de l’élimination de $x,$ entre $X'=0$ et $XX''=z,$ n’a que des permanences.

On a d’abord $5x^{4}+4r'x^{3}+3q'x^{2}+2p'x=0,$ qui donne $x=0$ et

${\begin{aligned}5x^{3}+\ \,4r'x^{2}+3q'x+2p'=X'\ ,&\\20x^{3}+12r'x^{2}+6q'x+2p'=X''.&\\\end{aligned}}$

D’après cela $XX''=z$ devient, en divisant $X''$ par $2,$

$\left(20x^{3}+12r'x^{2}+6q'x+2p'\right)\left(x^{5}+r'x^{4}+q'x^{3}+p'x^{2}+s'\right)=z.$(1)

La racine $x=0$ étant mise dans (1) donne d’abord cette première valeur de $z,$ savoir $z=p's'$ ou $z-p's'=0.$

Si ensuite on substitue dans (1), autant de fois qu’on le pourra, pour $x^{3}$ sa valeur tirée de $X'=0\,;$ en posant, pour, abréger,

${\begin{aligned}A&=3680q'r'^{4}-512r'^{6}-4400p'r'^{3}-7050q'^{2}r'^{2}+12625p'q'r'\\\\&-6250r's'+2250q'^{3}-5625p'^{2}\,;\\\\B&=2400q'^{2}r'^{3}-385q'r'^{5}-4700p'q'r'^{2}-3375q'^{3}r'+7125p'q'^{2}\\\\&+320p'r'^{4}+2250p'^{2}r'-9375q's'\,;\\\\C&=1600p'q'r'^{3}-256p'r'^{5}-2000p'^{2}r'^{2}-2250p'q'^{2}r'+3750p'^{2}q'-9375p's'.\end{aligned}}$

on aura

$Ax^{2}+Bx+C=-5^{-5}z=0\,;\qquad$(2)

éliminant enfin, $r$ entre (2) et $X'=0,$ et posant, pour, abréger,