11. Il est clair d’ailleurs que les ordonnées également distantes des extrêmes, telles que et et doivent, dans cette formule être affectées du même coefficient, puisqu’en renversant l’aire mixtiligne à quarrer, de telle sorte que sa première ordonnée devienne la dernière, et vice versâ, sa surface doit toujours demeurer la même. On pourra donc réduire le calcul des coefficiens à la moitié de leur nombre, si ce nombre est pair, et à la moitié plus un, s’il est impair ; et alors il conviendra de les calculer dans un ordre rétrograde, attendu que les derniers se présentent sous la forme la plus simple. À la vérité, en procédant ainsi, on se privera du moyen de vérification qui résulterait de l’égalité des coefficiens également distans des extrêmes ; mais on en trouvera un autre dans l’égalité de la somme de tous les coefficiens à l’unité. Il est évident, en effet, que, si l’on supposait à la fois l’aire à quarrer devrait, d’une part, être la simple somme de ces coefficiens, et que, d’une autre, elle devrait être égale à l’unité.
12. Le plan général ainsi tracé, il s’agit d’en venir à l’exécution, pour toutes les valeurs de depuis un jusqu’à douze inclusivement. Cherchons d’abord les valeurs de Il nous faut, pour cela, continuer le tableau commencé ci-dessus (9). Dans ce tableau, la loi des signes, exposans et dénominateurs, est manifeste. Quant à celle des numérateurs numériques, en remontant (7) à l’origine de ces nombres, on voit qu’en général l’un quelconque est égal à celui qui est immédiatement au-dessus ; plus, le produit de celui qui est immédiatement à gauche de ce dernier par l’exposant de dans le premier terme de la ligne que l’on calcule. Ainsi, par exemple, dans la valeur de on a et ainsi des autres.
13. Rien ne sera donc plus facile que de pousser ce tableau aussi loin qu’on voudra. En le poussant jusqu’à la lettrelettre et faisant d’abord abstraction des puissances de et des dénominateurs, on aura
