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D’INTÉGRATION.

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}},\\B&={\frac {x}{3}}-{\frac {1}{2}},\\C&={\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {3x}{3}}+{\frac {2}{2}},\\D&={\frac {x^{3}}{5}}-{\frac {6x^{2}}{4}}+{\frac {11x}{3}}-{\frac {6}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

valeurs dans lesquelles il faudra supposer $x=n,$ on aura

$\int y\operatorname {d} x=x\left({\frac {a}{x}}+A.\Delta a+B.\Delta ^{2}a+C.\Delta ^{3}a+D.\Delta ^{4}a+\ldots \right).$

10. Si, dans cette dernière formule, on remet pour $\Delta a,\Delta ^{2}a,$ $\Delta ^{3}a,\Delta ^{4}a,\ldots$ leurs valeurs (7) en $a,b,c,d,\ldots$ en se rappelant que $x=n,$ on pourra l’écrire sous cette forme

${\begin{aligned}{\frac {\int y\operatorname {d} x}{n}}=\left({\frac {1}{n}}-{\frac {A}{1}}+{\frac {B}{2}}-{\frac {C}{3!}}+{\frac {D}{4!}}-\ldots \pm {\frac {P}{n!}}\right)a&\\+{\frac {1}{1}}\left(A-{\frac {B}{1}}+{\frac {C}{2}}-{\frac {D}{3!}}+\ldots \mp {\frac {P}{(n-1)!}}\right)b&\\+{\frac {1}{2}}\left(B-{\frac {C}{1}}+{\frac {D}{2}}-\ldots \pm {\frac {P}{(n-2)!}}\right)c&\\\mp {\frac {1}{3!}}\left(C-{\frac {D}{1}}+\ldots \mp {\frac {P}{(n-3)!}}\right)d&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\\\pm {\frac {P}{n!}}q.&\\\end{aligned}}$