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THÉORIE GÉNÉRALE
![{\displaystyle {\frac {B}{A}}={\frac {b}{a+{\frac {C}{B}}}},{\frac {C}{B}}={\frac {b'}{a'+{\frac {D}{C}}}},{\frac {D}{C}}={\frac {b''}{a''+{\frac {E}{D}}}},\ldots (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a496c1b715992194aec149bf7243decda2dba617)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}C=&Ab-Ba,\\D=&Bb'-Ca',\\E=&Cb''-Da'',\\\ldots &\ldots \ldots \end{aligned}}\right\}(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344c46a135b07b8d35366bdfd71a18bac7121163)
et la question se trouvera réduite à satisfaire en nombres entiers à
cette suite d’équations, dans laquelle il est évident qu’on pourra
prendre à la fois arbitrairement les dénominateurs
et les numérateurs
des fractions intégrantes.
Or, si l’on prend constamment
la fraction continue se terminera nécessairement ; en effet, on aura d’abord
et, comme on aura aussi
il s’ensuit qu’on aura
donc, on aura
![{\displaystyle {\frac {b}{a+{\frac {b'}{a'}}}}<{\frac {b}{a-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e119f361789d64660da56497cf4cd3edd8ab33b)
mais
est au plus l’unité ; donc, on aura
![{\displaystyle {\frac {b}{a+{\frac {b'}{a'}}}}<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3e1f02b8e1223baebbabb277260b649d539a95)
On aura, par la même raison,
![{\displaystyle {\frac {b'}{a'+{\frac {b''}{a''}}}}<1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746e9c8561b154f79c807441c3488443c1436877)
donc