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THÉORIE GÉNÉRALE DES FRACTIONS CONTINUES.

ANALISE ALGÉBRIQUE.

Théorie générale des fractions continues ;

Par M. Bret, professeur à la faculté des sciences de
Grenoble, Chevalier de l’Ordre royal de la Légion d’honneur.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Le problème du développement d’une fraction ordinaire en fraction continue, se réduit évidemment à la résolution de l’équation

${\cfrac {B}{A}}={\cfrac {b}{a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {b''}{a''+{\cfrac {b'''}{a'''+\ldots }}}}}}}}\qquad$(1)

dans laquelle nous supposons que A, $B$ sont deux nombres entiers positifs donnés, tels qu’on ait $A>B,$ et où $a,a',a'',a''',\ldots$$b,b',b'',b''',\ldots$ sont des nombres entiers indéterminés, positifs ou négatifs ; on peut toujours supposer, au surplus ; que $a,a',a'',a''',\ldots$ sont positifs.

Posons successivement

${\cfrac {B}{A}}={\cfrac {b}{a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {b''}{a''+\ldots }}}}}},\qquad {\cfrac {C}{B}}={\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {b''}{a''+{\cfrac {b'''}{a'''+\ldots }}}}}},$

${\cfrac {D}{C}}={\cfrac {b''}{a''+{\cfrac {b'''}{a'''+{\cfrac {b''''}{a''''+\ldots }}}}}},\ldots \qquad$(2)

il viendra ainsi