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THÉORIE GÉNÉRALE

$b<a,\quad b'<a',\quad b''<a'',\quad b'''<a''',\ldots$

on aura aussi constamment, abstraction faite des signes

${\cfrac {B}{A}}<1,\quad {\cfrac {C}{B}}<1,\quad {\cfrac {D}{C}}<1,\ldots$

c’est-à-dire,

$B<A,\quad C<B,\quad D<C,\quad E<D,\ldots \,;$

les nombres $A,B,C,D,\ldots$ seront donc continuellement décroissans ; et, comme ils sont tous entiers, il faudra enfin que l’un d’eux soit nul, ce qui prouve que la fraction continue se terminera.

Donc, si une fraction continue, dans laquelle les dénominateurs des fractions intégrantes sont constamment plus grands que leurs numérateurs, ne se termine pas, elle ne pourra être le développement d’une fraction finie, et sera conséquemment le développement d’un incommensurable.

Tout ce que nous venons de dire a encore lieu lors même que les numérateurs des fractions intégrantes sont d’abord plus grands que leurs dénominateurs, pourvu qu’ensuite ils deviennent plus petits qu’eux et demeurent constamment tels ; il arrive seulement alors que la suite des nombres $A,B,C,D,\ldots$ est d’abord divergente ; mais elle devient ensuite convergente et doit conséquemment se terminer à zéro, comme dans le premier cas.

Posons présentement

${\cfrac {B}{A}}={\cfrac {b}{a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {\ldots }{\ldots +{\cfrac {\beta }{\alpha }}}}}}}},\qquad {\cfrac {B'}{A'}}={\cfrac {b}{a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {\ldots }{\ldots +{\cfrac {\beta }{\alpha +{\cfrac {\beta '}{\alpha '}}}}}}}}}},$${\cfrac {B''}{A''}}={\cfrac {b}{a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {\ldots }{\ldots +{\cfrac {\beta }{\alpha +{\cfrac {\beta '}{\alpha '+{\cfrac {\beta ''}{\alpha ''}}}}}}}}}}}},\ldots$