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THÉORIE GÉNÉRALE
on aura aussi constamment, abstraction faite des signes
c’est-à-dire,
les nombres seront donc continuellement décroissans ; et, comme ils sont tous entiers, il faudra enfin que
l’un d’eux soit nul, ce qui prouve que la fraction continue se
terminera.
Donc, si une fraction continue, dans laquelle les dénominateurs
des fractions intégrantes sont constamment plus grands que leurs
numérateurs, ne se termine pas, elle ne pourra être le développement d’une fraction finie, et sera conséquemment le développement
d’un incommensurable.
Tout ce que nous venons de dire a encore lieu lors même que
les numérateurs des fractions intégrantes sont d’abord plus grands
que leurs dénominateurs, pourvu qu’ensuite ils deviennent plus
petits qu’eux et demeurent constamment tels ; il arrive seulement
alors que la suite des nombres est d’abord
divergente ; mais elle devient ensuite convergente et doit conséquemment se terminer à zéro, comme dans le premier cas.
Posons présentement