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DES FRACTIONS CONTINUES.
En réduisant la première de ces fractions continues en fraction
ordinaire, on trouvera une expression de cette forme
![{\displaystyle {\frac {B}{A}}={\frac {P\beta +Q\alpha }{M\beta +N\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736d3bb693a4bb5462804411cae91764a44b4ac4)
on passera de là à la valeur de
, en y changeant
en ![{\displaystyle \alpha +{\frac {\beta '}{\alpha '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a051e55042a9c8cad894e20d2446577ddca3ef)
ce qui donnera
![{\displaystyle {\frac {B'}{A'}}={\frac {P\beta +Q\left(\alpha +{\frac {\beta '}{\alpha '}}\right)}{M\beta +N\left(\alpha +{\frac {\beta '}{\alpha '}}\right)}}={\frac {(P\beta +Q\alpha )\alpha '+Q\beta '}{(M\beta +N\alpha )\alpha '+N\beta '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7087dc7ea81d783da79a913223194061bc59bcab)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\frac {B'}{A'}}={\frac {B\alpha '+Q\beta '}{A\alpha '+N\beta '}}={\frac {Q\beta '+B\alpha '}{N\beta '+A\alpha '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9cca12b036d91afb6f82c75538dd5ba78a2aa6f)
et l’on aura de même
![{\displaystyle {\frac {B''}{A''}}={\frac {B\beta ''+B'\alpha ''}{A\beta ''+A'\alpha ''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234bb3b25e45dea8d340ad9d8950e8b2b76a6760)
d’où
![{\displaystyle B''=B\beta ''+B'\alpha '',\qquad A''=A\beta ''+A'\alpha '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677e7ac51c2f8d00720440ef91e8d388f893d15a)
Éliminant
entre ces deux équations, il viendra
![{\displaystyle A'B''-B'A''=-(AB'-BA')\beta ''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d60101e46e1d98603ccda9d0924dca6bfdcd18f)
on aura donc, en général,
![{\displaystyle A'B''-B'A''=\pm bb'b''\ldots \beta \beta '\beta ''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a0f0050a90e58064e41fb7c4f55f15c673d197)
le signe plus ou le signe moins aura lieu, suivant que le nombre
des fractions intégrantes est impair ou pair, en les supposant du
moins toutes positives.
Si nous prenons la différence entre deux fractions convergentes
consécutives, nous aurons, abstraction faite des signes,