Si, de cette dernière équation, on tire la valeur de pour la substituer dans les équations (7), on aura les formules nécessaires pour décomposer une puissance en deux autres de directions données.
Par le sommet de l’angle , imaginons une perpendiculaire indéfinie à la diagonale Si l’on conçoit un triangle dont cette diagonale soit la hauteur et dont la base soit la somme des projections des côtés sur la perpendiculaire ; il est aisé devoir que ce triangle sera équivalent au parallélogramme. En représentant donc par l’aire de ce dernier, et remarquant que la somme des projections de est on aura
formule qui, en y mettant pour leurs valeurs (5) deviendra
d’où il serait facile de déduire l’expression de l’aire d’un triangle en fonction de ses trois côtés.
II. Soient les trois arêtes d’un même angle d’un parallélipipède quelconque ; et soit la diagonale qui joint le sommet de cet angle au sommet opposé ; soient en outre
On peut parvenir d’une extrémité à l’autre de la diagonale en cheminant extérieurement sur trois arêtes consécutives, égales et parallèles à d’où il suit que la projection de la diagonale, sur une droite quelconque est égale à la somme des projections
