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ET PARALLÉLIPIPÈDE.
des trois arêtes
sur la même droite. Projetant donc successivement cette diagonale sur les directions mêmes des trois arêtes
nous aurons
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\Delta \operatorname {Cos} .x=&A+B\operatorname {Cos} .c+C\operatorname {Cos} .b,\\\Delta \operatorname {Cos} .y=&B+C\operatorname {Cos} .a+A\operatorname {Cos} .c,\\\Delta \operatorname {Cos} .z=&C+A\operatorname {Cos} .b+B\operatorname {Cos} .a,\\\end{aligned}}\right\}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627e8b347cf1d754cf67ce4f950a1595c1dd615c)
(1)
mais, d’un autre côté, en projetant sur la diagonale
les trois
arêtes par lesquelles on chemine de l’une à l’autre de ses extrémités,
on a
![{\displaystyle \Delta =A\operatorname {Cos} .x+B\operatorname {Cos} .y+C\operatorname {Cos} .z\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe19a0a7cf566814fcf1d1ee7c6b5ee6cc702c1)
(2)
multipliant cette dernière équation par
et remplaçant ensuite
par les valeurs que donnent les équations (1), il viendra, en extrayant la racine quarrée,
![{\displaystyle \Delta ={\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}+2BC\operatorname {Cos} .a+2CA\operatorname {Cos} .b+2AB\operatorname {Cos} .c}}.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdffb4ceeeb9ce75604da559d425b8955eacace)
(3)
Les équations (1) donneront ensuite
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .x=&{\frac {1}{\Delta }}(A+B\operatorname {Cos} .c+C\operatorname {Cos} .b),\\\operatorname {Cos} .y=&{\frac {1}{\Delta }}(B+C\operatorname {Cos} .a+A\operatorname {Cos} .c),\\\operatorname {Cos} .z=&{\frac {1}{\Delta }}(C+A\operatorname {Cos} .b+B\operatorname {Cos} .a),\\\end{aligned}}\right\}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad1a9a562d7c0728d426ba725b797140eb18867)
(4)
formules dans lesquelles il faudra mettre pour
la valeur que
nous venons de trouver. Telles sont, en particulier, les formules
qu’il faut employer pour déterminer l’intensité et la direction de la