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ET PARALLÉLIPIPÈDE.

{\begin{aligned}\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .\alpha =&{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}y-\operatorname {Cos} .^{2}z+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .z}},\\\\\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .\beta =&{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}z-\operatorname {Cos} .^{2}x+2\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .z\operatorname {Cos} .x}},\\\\\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .\gamma =&{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}c-\operatorname {Cos} .^{2}x-\operatorname {Cos} .^{2}y+2\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}}\,;\end{aligned}}

mais, en mettant dans les seconds membres de ces équations pour $\operatorname {Cos} .x,\operatorname {Cos} .y,\operatorname {Cos} .z,$ leurs valeurs (4), ils deviennent respectivement

{\begin{aligned}{\frac {A}{\Delta }}{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c}},\\\\{\frac {B}{\Delta }}{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c}},\\\\{\frac {C}{\Delta }}{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c}}\,;\end{aligned}}

donc enfin, en substituant dans la valeur de $P,$ il viendra

P=ABC{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c}}.

D’où il serait facile de conclure le volume d’un tétraèdre, en fonction de ses six arêtes^[1].

↑ Au moment où je termine ceci, je m’aperçois qu’à la page 253 du VI.^e volume de ce recueil, M. Bérard est parvenu, par la même voie que moi, à l’équation de relation entre les six angles que forment deux à deux quatre droites dans l’espace ; mais, cet estimable géomètre n’a pas songé à déduire de ces formules la diagonale du parallélipipède, ce qui n’était pourtant pas le point le plus difficile.

[1] Au moment où je termine ceci, je m’aperçois qu’à la page 253 du VI.^e volume de ce recueil, M. Bérard est parvenu, par la même voie que moi, à l’équation de relation entre les six angles que forment deux à deux quatre droites dans l’espace ; mais, cet estimable géomètre n’a pas songé à déduire de ces formules la diagonale du parallélipipède, ce qui n’était pourtant pas le point le plus difficile.

[1]