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PARALLÉLOGRAMME
mais les projections sur le même plan des trois arêtes de cet
angle sont
d’où il suit (I), qu’en désignant
par
les projections des angles
sur ce plan, l’aire
de la base de la pyramide sera
![{\displaystyle BC\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .\alpha +CA\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .\beta +AB\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .\gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642f7d7df5655c8386147237fb3e4549dcbb65c8)
de sorte qu’en désignant par
le volume du parallélipipède on aura
![{\displaystyle P={\tfrac {1}{3}}\Delta (BC\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .\alpha +CA\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .\beta +AB\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .\gamma )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1711c9cf585881bb40d1657025628c7053a02eaa)
tout se réduit donc à déterminer les angles ![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14d5bcabe4b1943ef0f2f402661ecf1052c11a4)
Or, ces angles sont évidemment la mesure des ongles dièdres
que formeraient deux à deux les plans que l’on conduirait par la
diagonale
et par chacune des trois arêtes
en considérant donc successivement les trois angles trièdres dont les arêtes sont
![{\displaystyle \Delta ,B,C\,;\qquad \Delta ,C,A\,;\qquad \Delta ,A,B\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964c527349997911ff09ae8b85124ec4ceaed445)
et dont les angles plans, respectivement apposés, sont
![{\displaystyle a,z,y\,;\qquad b,x,z\,;\qquad c,y,x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dad031875fa4cdf4640407cd043766781cf2318)
nous aurons, par les principes fondamentaux de la trigonométrie sphérique,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .\alpha =\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .z,\\\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .\beta =\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .z\operatorname {Cos} .x,\\\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .\gamma =\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f51810435022c3fb7a3689c1df27005a8c8248)
d’où, en passant aux sinus,