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PARALLÉLOGRAMME

mais les projections sur le même plan des trois arêtes de cet angle sont $A\operatorname {Sin} .x,B\operatorname {Sin} .y,C\operatorname {Sin} .z\,;$ d’où il suit (I), qu’en désignant par $\alpha ,\beta ,\gamma$ les projections des angles $a,b,c$ sur ce plan, l’aire de la base de la pyramide sera

$BC\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .\alpha +CA\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .\beta +AB\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .\gamma \,;$

de sorte qu’en désignant par $P$ le volume du parallélipipède on aura

$P={\tfrac {1}{3}}\Delta (BC\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .\alpha +CA\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .\beta +AB\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .\gamma )\,;$

tout se réduit donc à déterminer les angles $\alpha ,\beta ,\gamma .$

Or, ces angles sont évidemment la mesure des ongles dièdres que formeraient deux à deux les plans que l’on conduirait par la diagonale $\Delta$ et par chacune des trois arêtes $A,B,C\,;$ en considérant donc successivement les trois angles trièdres dont les arêtes sont

$\Delta ,B,C\,;\qquad \Delta ,C,A\,;\qquad \Delta ,A,B\,;$

et dont les angles plans, respectivement apposés, sont

$a,z,y\,;\qquad b,x,z\,;\qquad c,y,x\,;$

nous aurons, par les principes fondamentaux de la trigonométrie sphérique,

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .\alpha =\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .z,\\\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .\beta =\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .z\operatorname {Cos} .x,\\\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .\gamma =\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y,\end{aligned}}$

d’où, en passant aux sinus,