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RACINES IMAGINAIRES

on aura donc l’équation qui donne son ordonnée, en éliminant $x$ entre celle-ci et l’équation $X=y\,;$ ce qui donnera

$4ay+\left(b^{2}-4ac\right)=0$^[1]$\,;\qquad (Y=0)$

d’où l’on conclura (1) que l’équation $X=0$ a ses deux racines réelles et inégales, égales ou imaginaires, suivant que $b^{2}-4ac$ est positif, nul ou négatif.

3. Soit l’équation du troisième degré

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\qquad (X=0)$

dans laquelle nous supposons toujours $a$ positif.

Considérons la courbe parabolique ayant pour équation

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=y\,;\qquad (X=y)$

il est clair que la recherche des racines de la proposée se réduit à la recherche des abscisses des intersections de cette courbe avec l’axe des $x\,;$ ces racines seront donc toutes trois réelles ou inégales, ou bien deux d’entre elles seront égales, ou enfin il y en aura deux d’imaginaires, suivant que la courbe aura avec l’axe des $x$ trois intersections distinctes, ou que deux de ces intersections se confondront en une seule, ou enfin que la courbe ne coupera l’axe des $x$ qu’en un seul point. Il pourrait aussi arriver que les trois

1. Il est clair que tout se réduit à éliminer $x$ entre $X=0$ et $X'=0,$ sauf à changer ensuite, dans le résultat, $c$ en $c-y\,;$ or, si l’on prend la différence des produits de $X$ par $2$ et de $X'$ par $x,$ il vient $bx+2c=0\,;$ donc, tout se réduit à éliminer d’abord $x$ entre les deux équations $2ax+b=0,$ et $bx+2c=0,$ ce qui donne $b^{2}-4ac=0,$ et à changer ensuite $c$ en $c-y.$ On obtient ainsi $b^{2}-4a(c-y)=0,$ qui est en effet l’équation du texte.