intersections se confondissent en une seule, auquel cas la proposée aurait ses trois racines égales.
Or, sauf les cas d’exception, sur lesquels nous reviendrons tout-à-l’heure, la courbe aura généralement deux sommets ; et, en supposant, pour fixer les idées, que l’angle des coordonnées positives soit pris au dessus de l’axe des supposé horizontal, et à droite de l’axe des supposé vertical, voici quel sera son cours : de ses deux branches extrêmes et infinies, celle de gauche se prolongera en bas et à gauche, tandis que celle de droite se prolongera en haut et à droite ; et, quant à ses sommets, le plus à gauche aura sa convexité tournée vers le haut, tandis que le plus à droite aura la sienne tournée vers le bas.
Or, de là il est aisé de conclure, 1.o que la proposée ne pourra avoir ses trois racines réelles qu’autant que l’axe des se trouvera compris entre les tangentes aux deux sommets ; 2.o qu’elle aura deux racines égales, lorsque l’axe des se confondra avec l’une ou l’autre de ces tangentes ; 3.o qu’enfin elle aura deux racines imaginaires, si l’axe des est au-dessus ou au-dessous de ces deux tangentes.
Cela revient évidemment à dire, 1.o que la proposée ne pourra avoir ses trois racines réelles et inégales qu’autant que les ordonnées des deux sommets seront de signes contraires ; 2.o que deux de ses racines seront égales, si l’une quelconque de ces ordonnées est nulle ; 3.o qu’enfin elle aura deux racines imaginaires, si ces deux ordonnées ont un même signe quelconque.
Tout se réduit donc, comme l’on voit, à déterminer les ordonnées des deux sommets, ou seulement à pouvoir en assigner les signes ; or, aux sommets de la courbe, on doit avoir c’est-à-dire,
c’est donc là l’équation qui doit donner les abscisses des sommets ;
