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DES ÉQUATIONS.

$81a^{2}y^{2}+6\left\{3a(bc-9ad)-2b(b^{2}-3ac)\right\}y$

$+\left\{(bc-9ad)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)\left(c^{2}-3bd\right)\right\}=0,\qquad (Y=0)$

La proposée aura donc ses trois racines réelles et inégales, deux racines égales, ou enfin deux racines Imaginaires, suivant que cette dernière aura ou ses deux racines de signes contraires ou l’une d’elles nulle ou toutes les deux de mêmes signes ; c’est-à-dire, suivant que son dernier terme

$(bc-9ad)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)\left(c^{2}-3bd\right),\qquad (D)$

produit de ces deux racines, sera négatif, nul ou positif.

Passons présentement aux cas particuliers. Nous avons supposé que la courbe parabolique $X=y$ avait deux sommets réels et distincts, ce qui suppose que l’équation $X'=0$ a ses deux racines réelles et inégales ou, en d’autres termes, qu’on a (2)

$b^{2}-3ac>0\,;$

mais, ces deux sommets pourraient fort bien se confondre en un seul ; ou bien ils pourraient être tous deux imaginaires, et c’est ce qui arriverait si cette même fonction $b^{2}-4ac$ était nulle ou négative.

Dans le premier cas, la courbe n’aurait qu’une seule tangente parallèle à l’axe des $x\,;$ dans le second, elle n’en aurait aucun ; dans l’un et l’autre elle ne pourrait évidemment couper l’axe des $x$ en plus d’un point, et conséquemment l’équation proposée devrait avoir deux racines imaginaires.

Or, lorsque $b^{2}-4ac$ est nul, la fonction $(D)$ qui se réduit alors à $(bc-9ad)^{2}$ est essentiellement positive ; il n’y a donc rien de changé alors au principe que nous avons établi ci-dessus.

Passons au second cas, c’est-à-dire, à celui où l’équation $X'=0$