Pour exécuter facilement cette élimination, et obtenir l’équation finale telle
qu’on la voit dans le texte, on remarquera, en premier lieu, que tout se
réduit à éliminer
entre les deux équations
pourvu que, dans
le résultat, on change
en
Or, si de l’équation
multipliée par
on retranche l’équation
multipliée par
il viendra
![{\displaystyle bx^{2}+2cx+3d=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea2c33b9b989b34ec2432c1870c4b6208f73ef9)
tout se réduit donc à éliminer
entre cette dernière équation et l’équation
![{\displaystyle 3ax^{2}+2bx+c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fb7c4a27475d02a425477391a64edbcf9917ed)
et à changer ensuite
en
dans le résultat.
Le résultat de cette élimination étant
![{\displaystyle (bc-9ad)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)\left(c^{2}-3bd\right)=0,\qquad (D=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2929611730b946b4c40d95629c88dc43b56d6d)
il s’ensuit que l’équation finale en
doit être
![{\displaystyle \left\{bc-9a(d-y)\right\}^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)\left\{c^{2}-3b(d-y)\right\}=0\,;\qquad (Y=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce37779c23361e7d041f2bf061f0d3c46b4f587b)
équation qu’il s’agirait de développer et d’ordonner.
Mais il est clair qu’on aura les coefficiens de ses différens termes, du dernier
au premier, en posant
dans
or, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y}}=&18a\left\{bc-9a(d-y)\right\}-12b\left(b^{2}-3ac\right)\\\\{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}Y}{\operatorname {d} y^{2}}}=&81a^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdaf89865f0f1576896616f80cf094b21b35d481)
ce qui, en faisant
donne les trois coefficiens du texte.
Cela revient, au surplus, à dire que l’équation finale en
est
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}D}{\operatorname {d} d^{2}}}y^{2}+{\frac {\operatorname {d} D}{\operatorname {d} d}}y+D=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b9810cdf707c96668d2f4f85cc249352124f75)