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RACINES IMAGINAIRES

on aura donc l’équation qui donne leurs ordonnées, en éliminant $x$ entre celle-ci et l’équation $X=y\,;$ ce qui donnera^[1]

1. Pour exécuter facilement cette élimination, et obtenir l’équation finale telle qu’on la voit dans le texte, on remarquera, en premier lieu, que tout se réduit à éliminer $x$ entre les deux équations $X=0,\ X'=0,$ pourvu que, dans le résultat, on change $d$ en $d-y.$

   Or, si de l’équation $X=0,$ multipliée par $3,$ on retranche l’équation $X'=0$ multipliée par $x,$ il viendra

   $bx^{2}+2cx+3d=0\,;$

   tout se réduit donc à éliminer $x$ entre cette dernière équation et l’équation

   $3ax^{2}+2bx+c=0,$

   et à changer ensuite $d$ en $d-y$ dans le résultat.

   Le résultat de cette élimination étant

   $(bc-9ad)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)\left(c^{2}-3bd\right)=0,\qquad (D=0)$

   il s’ensuit que l’équation finale en $y$ doit être

   $\left\{bc-9a(d-y)\right\}^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)\left\{c^{2}-3b(d-y)\right\}=0\,;\qquad (Y=0)$

   équation qu’il s’agirait de développer et d’ordonner.

   Mais il est clair qu’on aura les coefficiens de ses différens termes, du dernier au premier, en posant $y=0$ dans $Y,{\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y}},{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}Y}{\operatorname {d} y^{2}}}\,;$ or, on a

   ${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y}}=&18a\left\{bc-9a(d-y)\right\}-12b\left(b^{2}-3ac\right)\\\\{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}Y}{\operatorname {d} y^{2}}}=&81a^{2}\end{aligned}}$

   ce qui, en faisant $y=0,$ donne les trois coefficiens du texte.

   Cela revient, au surplus, à dire que l’équation finale en $y$ est

   ${\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}D}{\operatorname {d} d^{2}}}y^{2}+{\frac {\operatorname {d} D}{\operatorname {d} d}}y+D=0.$