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DES ÉQUATIONS.

$bc=9ad\,;$

on aura donc, à la fois,

$b^{2}-ac=0,\qquad bc-9ad=0,\qquad c^{2}-3bd=0,$

la fonction $(D)$ sera donc nulle, comme dans le cas de deux racines égales seulement ; mais, de plus, l’équation $Y=0$ qui, dans ce cas, ne perdait, que son dernier terme, perdra aussi celui qui le précède.

Ainsi, en résumé, et quels que puissent être d’ailleurs les cas particuliers qui auront lieu, 1.^o si l’équation $Y=0$ a une variation et une permanence, l’équation $X=0$ aura ses trois racines réelles et inégales ; 2.^o si celle équation n’a que des permanences, la proposée aura deux racines imaginaires ; 3.^o si cette équation est dépourvue de son dernier terme, la proposée aura deux racines égales ; 4.^o enfin, la proposée aura ses trois racines égales, si l’équation $Y=0$ est privée à la fois de ses deux derniers termes.

Il n’aura pas sans doute échappé au lecteur que la fonction $(D)$ se compose de la même manière des coefficiens qui, dans la proposée, se trouvent être également éloignés des extrêmes. On conçoit que cela ne saurait être autrement, puisqu’en changeant dans la proposée $x$ en ${\frac {1}{x}},$ cette équation ne fait simplement que se renverser ; et que les racines de la nouvelle équation doivent être réelles ou imaginaires, égales ou inégales, suivant que celles de la proposée le sont elles-mêmes. C’est principalement pour laisser apercevoir cette circonstance que nous avons donné un coefficient au premier terme de la proposée ; nous en avons d’ailleurs recueilli l’avantage de n’avoir à considérer que des fonctions homogènes.

4. Soit l’équation du quatrième degré