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RACINES IMAGINAIRES
![{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0.\qquad (X=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6dacfcc8335be7d09dfc5d76715978836ee6b94)
Soient posées les deux équations
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=y.&\qquad (X=y)\\4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0\,;&\qquad (X'=0)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a6545d9a9ce7cea6ba04b79678d2634bc3e782)
dont la dernière n’est autre chose que la dérivée de la proposée.
En éliminant
entre elles, et posant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}bc-6ad&=A,&\qquad 3b^{2}-8ac&=B,&\qquad bd-16ae&=C,\\cd-6be&=E,&3d^{2}-8ce&=D,&4c^{2}-9bd&=F,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0da8d97c74b75e091c3124712c5685716ca641e)
on obtiendra
![{\displaystyle 4096a^{3}y^{3}-16\left\{48a^{2}C-8a(2cB+3bA)+9b^{2}B\right\}y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e59dd6e7f5e238a45c3f3dab4ea985b94c1f34)
![{\displaystyle +8\left\{6aC^{2}-(2cB+3bA)C-4a(BD+2AE)+2(2cA^{2}+3bBE)-cBF\right\}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d9ce76cb0ef4160c4ae6640a32b4891545fd07)
[1]![{\displaystyle \ (Y=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a8da78909013a1af6a2b8da9564321e4feec00)
- ↑ Pour parvenir simplement à cette équation, éliminez d’abord
entre
les deux équations
![{\displaystyle 4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0170d3927ca515d1741310cb289f2f82a2e43b97)
![{\displaystyle bx^{3}+2cx^{2}+3d+4e=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa67d2ab720b9bde572cf259af23ee34e494450)
en représentant par
l’équation résultante, l’équation cherchée sera
![{\displaystyle {\frac {1}{6}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}E}{\operatorname {d} e^{3}}}y^{3}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}E}{\operatorname {d} e^{2}}}y^{2}+{\frac {\operatorname {d} E}{\operatorname {d} e}}y+E=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6461ec4e47b1ec90f9b062579d8f6d335f734692)