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DES ÉQUATIONS.
![{\displaystyle ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+\ldots px+q=0\,;\qquad (X=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed343be1a0659aaa88da3ee0000e32640903c1ef)
et soit
![{\displaystyle \alpha y^{m-1}+\beta y^{m-2}+\gamma y^{m-3}+\ldots \omega y+\rho =0,\qquad (Y=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2abbb3fe847ba093e9a4d392c40c903384865a1)
l’équation qu’on obtient en éliminant
entre la dérivée
![{\displaystyle max^{m-1}+(m-1)bx^{m-2}+(m-2)cx^{m-3}+\ldots +p=0,\qquad (X'=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3db71925c4952ed467b389e02f573c61f5df180)
de la proposée et l’équation
[1]![{\displaystyle \qquad (X=y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bc20d9ac898bf1462b70a11bf6ecdeb25ccd70)
Cela posé, soient
et
respectivement le nombre des variations
et le nombre des permanences de l’équation
ce qui donnera
Si la proposée
est de degré impair, le nombre
de ses racines imaginaires sera
![{\displaystyle \pm (V-P)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b23504bc4e925d53e1dcbaf8041e15f9e8956df)
et si, au contraire, elle est d’un degré pair, le nombre de ses
racines imaginaires sera
- ↑ Il est patent, par tout ce qui précède, que l’équation
ne doit pas
excéder le
degré : cela résulte aussi de la théorie de l’élimination.
Bezout a démontré, en effet, que si l’on a deux équations en
et
dans
lesquelles les plus hautes puissances de
soient respectivement
et celles de
seulement
l’équation finale en
n’excéderait pas le
degré
Or, nous avons ici
![{\displaystyle p+p'=m,\ q+q'=m-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13db8bfabe067dd5d3ed43269cae7b57acd480b1)
d’où
; donc le degré de l’équation en
doit être
au plus
![{\displaystyle m(m-1)-(m-1)^{2}=m-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c5b9a9eb143905f347fc04e9cd56e74e970dad)