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RACINES IMAGINAIRES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ses deux autres racines ne seront réelles qu’autant que les racines restantes de l’équation $Y=0$ ne seront pas toutes deux positives.

Le dernier terme d’une équation du troisième degré, pris avec un signe contraire étant le produit de toutes ses racines, il s’ensuit que, quand le dernier terme de l’équation $Y=0$ sera positif, l’équation $X=0$ aura deux racines réelles et deux racines imaginaires, et que, quand il sera négatif, les racines de l’équation $X=0$ seront toutes quatre réelles ou toutes quatre imaginaires ; mais, par la règle de Descartes, l’équation $Y=0$ sera, dans le premier cas, de l’une des trois formes

${\begin{aligned}\alpha y^{3}+\beta y^{2}+\gamma y-\delta =&0,\\\alpha y^{3}+\beta y^{2}-\gamma y-\delta =&0,\\\alpha y^{3}-\beta y^{2}-\gamma y-\delta =&0\,;\end{aligned}}$

tandis que, dans le second, elle ne pourra être que de la forme

$\alpha y^{3}-\beta y^{2}+\gamma y-\delta =0\,;$

ainsi ces deux cas seront toujours faciles à discerner l’un de l’autre.

Si nous, en venions présentement à discuter les cas particuliers dans lesquels deux de nos trois sommets deviennent imaginaires, ou dans lesquels ces trois sommets se réduisent à deux ou à un seul, circonstances qui sont indiquées par les équations $Y=0$ ou $X'=0,$ qui ont alors deux racines imaginaires, ou bien deux ou trois racines égales, nous nous convaincrions que ces cas particuliers ne nécessitent aucun changement dans nos conclusions générales relatives au nombre des racines tant réelles qu’imaginaires de la proposée. Il pourrait seulement se faire alors que cette équation eût trois ou même quatre racines égales, ce qu’on reconnaîtrait au nombre des termes de la droite de l’équation $Y=0$ qui s’évanouiraient.

5. Soit, en général, l’équation quelconque