Or, 1.o en prenant avec des signes contraires les arcs qui vont dans des directions opposées, la somme infinie des arcs tangens à l’arc primitif est égale à la projection de l’arc donné sur sa tangente à l’extrémité opposée à celle de laquelle partent toutes les développantes.
2.o En prenant également avec des signes contraires les arcs qui vont dans des directions opposées, la somme infinie des développantes normales à la courbe primitive sera égale à la projection de l’arc donné sur sa normale à l’extrémité opposée à celle de laquelle partent toutes les développantes.
Soit (fig. 1) un arc de courbe quelconque, dont et soient la tangente et la normale à l’extrémité et dont et soient la tangente et la normale à l’autre extrémité Soient de plus les projections de l’arc sur ces deux dernières droites.
Soient une série d’arcs, tels que chacun soit la développante de celui qui le précède immédiatement. Il s’agit de démontrer, 1.o que
2.o que
On doit remarquer que le théorème ne suppose pas nécessairement que l’arc primitif soit soumis à une loi analitique ; de manière qu’on peut même lui substituer une portion de polygone quelconque, rectiligne, curviligne ou mixtiligne.
M. Poinsot a déjà remarqué la vérité du théorème, dans le cas où l’arc primitif est un arc de cercle ; il s’agit de faire voir qu’il a lieu également, lorsque l’arc primitif est une ligne quelconque.
Démonstration. Soit pris sur l’arc primitif à partir de son extrémité une partie variable soit la tangente correspondante, terminée en à la développante de
