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CONSÉCUTIVES.

soit fait $\mathrm {AM_{1}} =S_{1}\,;$ soit ${\rm {M_{1}M_{2}}}$ la tangente à ${\rm {AB_{1}}}$ en ${\rm {M_{1},}}$ terminée en ${\rm {M_{2}}}$ à sa développante ${\rm {AB_{2}\,;}}$ soit fait $\mathrm {AM_{2}} =S_{2},$ et ainsi de suite. Soit enfin $\phi$ l’angle variable que fait la tangente ${\rm {M_{0}M_{1}}}$ en ${\rm {M_{0},}}$ avec la tangente ${\rm {AX}}$ en ${\rm {A.}}$ Soient de plus pris ${\rm {AX,AY}}$ pour les axes des coordonnées.

Cela posé, les choses étant d’ailleurs (fig. 2) comme nous les avons supposées (fig. 1) ; concevons que l’arc $\mathrm {AM_{0}} =S_{0}$ augmente de la quantité $\mathrm {M_{0}M_{0}} =\operatorname {d} {S_{0}}\,;$ l’arc $\mathrm {AM_{1}} =S_{1}$ augmentera de la quantité $\mathrm {M_{1}M'_{1}} =\operatorname {d} S_{1}\,;$ et l’on aura l’angle $\mathrm {M_{1}M'_{0}M'_{1}} =\operatorname {d} \phi .$ De plus, l’arc ${\rm {M_{1}M'_{1}}}$ pouvant être considéré comme une ligne droite, le triangle ${\rm {M_{1}M'_{0}M'_{1},}}$ rectangle en ${\rm {M'_{1},}}$ donnera

${\rm {M_{1}M'_{1}=M'_{0}M_{1}}}Cos.{\rm {M'_{0}M_{1}M'_{1}=M'_{0}M_{1}}}Sin.{\rm {M_{1}M'_{0}M'_{1}}}\,;$

c’est-à-dire,

$\operatorname {d} S_{1}=\left(S_{0}+\operatorname {d} S_{0}\right)\operatorname {Sin} .\operatorname {d} \phi \,;$

ou simplement

$\operatorname {d} S_{1}=S_{0}\operatorname {d} \phi \,;$

d’où

$S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi \,;$

l’intégrale devant s’évanouir en même temps que $\phi .$

D’après cela, il est clair qu’on devra avoir

${\begin{aligned}S_{1}=&\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,\\S_{2}=&\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2},\\S_{3}=&\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\S_{n}=&\int ^{n}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{n}.\end{aligned}}$

Si l’on développe ces intégrales au moyen de l’intégration par parties ; en se rappelant qu’elles doivent s’évanouir en même temps que $\phi ,$ on aura