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CONSÉCUTIVES.
soit fait
soit
la tangente à
en
terminée
en
à sa développante
soit fait
et ainsi de
suite. Soit enfin
l’angle variable que fait la tangente
en
avec la tangente
en
Soient de plus pris
pour les axes des coordonnées.
Cela posé, les choses étant d’ailleurs (fig. 2) comme nous les
avons supposées (fig. 1) ; concevons que l’arc
augmente
de la quantité
l’arc
augmentera de la
quantité
et l’on aura l’angle
De plus,
l’arc
pouvant être considéré comme une ligne droite, le
triangle
rectangle en
donnera
![{\displaystyle {\rm {M_{1}M'_{1}=M'_{0}M_{1}}}Cos.{\rm {M'_{0}M_{1}M'_{1}=M'_{0}M_{1}}}Sin.{\rm {M_{1}M'_{0}M'_{1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668978cd83b74fbe2feea0b080a61a23b1a1b59f)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \operatorname {d} S_{1}=\left(S_{0}+\operatorname {d} S_{0}\right)\operatorname {Sin} .\operatorname {d} \phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e66e2598693ecb44ff48bec85c6d32204b8ac89)
ou simplement
![{\displaystyle \operatorname {d} S_{1}=S_{0}\operatorname {d} \phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4238ff8724a61dd8dc9ef1b9335143d6b20035ec)
d’où
![{\displaystyle S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3920ff3cc149155ac4ea1a499d44ab5a13cb8968)
l’intégrale devant s’évanouir en même temps que ![{\displaystyle \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b065a61a08fe84742ade270b4dbd8c087510e6)
D’après cela, il est clair qu’on devra avoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}=&\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,\\S_{2}=&\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2},\\S_{3}=&\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\S_{n}=&\int ^{n}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7288af2e0f67055f67ce9dd2d2b7bd574b1ad237)
Si l’on développe ces intégrales au moyen de l’intégration par parties ;
en se rappelant qu’elles doivent s’évanouir en même temps que
on aura