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CONSÉCUTIVES.

toutes comprises entre la tangente à l’une des extrémités de l’arc primitif et la normale à son autre extrémité. Cela posé,

1.^o Si les deux droites indéfinies qui comprennent toutes ces courbes sont convergentes, auquel cas les développantes auront des longueurs sans cesse décroissantes ; ces développantes tendront aussi sans cesse à devenir des épicycloïdes intérieurs ;

2.^o Si ces droites sont parallèles, les développantes tendront sans cesse à devenir des cycloïdes ;

3.^o Enfin, si ces mêmes droites sont divergentes, les développantes tendront sans cesse à devenir des épicycloïdes extérieures.

Soient ${\rm {A_{0}A_{1},A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},\ldots }}$ une suite indéfinie d’arcs de courbes (fig. 3), dont le premier est quelconque et dont chacun est la développante de celui qui le précède immédiatement ; de telle sorte que le premier développement se fasse de ${\rm {A_{1}}}$ vers ${\rm {A_{2},}}$ le second de ${\rm {A_{2}}}$ vers ${\rm {A_{3},}}$ le troisième de ${\rm {A_{3}}}$ vers ${\rm {A_{4},}}$ et ainsi de suite. Les points ${\rm {A_{1},A_{3},A_{5},\ldots }}$ se trouveront tous sur la normale à la courbe primitive au point ${\rm {A_{1},}}$ laquelle est rencontrée en ${\rm {I}}$ par la normale à son autre extrémité ${\rm {A_{0}\,;}}$ et les points ${\rm {A_{0},A_{2},A_{4},\ldots }}$ seront tous situés sur la tangente menée à la courbe primitive, par cette dernière extrémité, laquelle se trouve coupée en ${\rm {G}}$ par la tangente à son autre extrémité ${\rm {A_{1}.}}$

Soit fait l’angle ${\rm {A_{0}IA_{1}}}=\omega \,;$ les deux droites $\mathrm {A_{1}A_{3}A_{5}} ,\ldots ,\mathrm {A_{0}A_{2}A_{4}} \ldots$ seront convergentes, parallèles ou divergentes, suivant que l’angle $\omega$ sera aigu, droit ou obtus. Il s’agit donc de démontrer que les développantes consécutives tendront à devenir des épicycloïdes intérieurs dans le premier cas, des cycloïdes dans le second et des épicycloïdes extérieures dans le troisième.

Ici encore, comme dans le précédent théorème, l’arc primitif peut n’être point assujetti à la loi de continuité ; ce peut être même une portion de polygone quelconque, rectiligne, curviligne ou mixtiligne.

Soient ${\rm {A_{1}M_{0}}}=S_{0},\ {\rm {A_{1}M_{1}}}=S_{1},\ {\rm {A_{3}M_{2}}}=S_{2},\ {\rm {A_{3}M_{3}}}=S_{3},\ldots ,$ une suite d’arcs variables consécutifs et correspondant, dévelop-