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DES DÉVELOPPANTES

${\begin{aligned}&a_{2}={\frac {\omega ^{2}}{2!}},\\&a_{4}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}a_{2}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}},\\&a_{6}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}a_{4}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}}a_{2}+{\frac {\omega ^{6}}{6!}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&a_{2n}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}a_{2n-2}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}}a_{2n-4}+{\frac {\omega ^{6}}{6!}}a_{2n-6}-\ldots \pm {\frac {\omega ^{2n-2}}{(2n-2)!}}a_{2}\mp {\frac {\omega ^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}$

Comme tous ces coefficiens contiendront des termes homogènes en $\omega ,$ nous ferons $a_{2n}=A_{2n}\omega ^{2n}\,;$ les nouveaux coefficiens $A_{2},A_{4},A_{6},\ldots A_{2n},$ se trouveront ainsi donnés par les équations

${\begin{aligned}&A_{2}={\frac {1}{2!}},\\&A_{4}={\frac {A^{2}}{2!}}-{\frac {1}{4!}},\\&A_{6}={\frac {A^{4}}{2!}}-{\frac {A^{2}}{4!}}+{\frac {1}{6!}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&A_{2n}={\frac {A^{2n-2}}{2!}}-{\frac {A^{2n-4}}{4!}}+{\frac {A^{2n-6}}{6!}}-\ldots \pm {\frac {A^{2}}{(2n-2)!}}\mp {\frac {1}{(2n)!}}.\end{aligned}}$

L’inspection de l’équation qui donne le coefficient $A_{2n},$ en fonction des précédens suffit pour faire voir que les nombres $A_{2},A_{4},A_{6},\ldots A_{2n}$ sont les coefficiens du développement de ${\frac {1}{\operatorname {Cos} .x}}\,;$ car, en posant